E-Book, Deutsch, 340 Seiten
Zeidler Springer-Handbuch der Mathematik II
1. Auflage 2012
ISBN: 978-3-658-00297-8
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark
Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler
E-Book, Deutsch, 340 Seiten
ISBN: 978-3-658-00297-8
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark
Als mehrbändiges Nachschlagewerk ist das Springer-Handbuch der Mathematik in erster Linie für wissenschaftliche Bibliotheken, akademische Institutionen und Firmen sowie interessierte Individualkunden in Forschung und Lehre gedacht. Es ergänzt das einbändige themenumfassende Springer-Taschenbuch der Mathematik (ehemaliger Titel Teubner-Taschenbuch der Mathematik), das sich in seiner begrenzten Stoffauswahl besonders an Studierende richtet. Teil II des Springer-Handbuchs enthält neben den Kapiteln 2-4 des Springer-Taschenbuchs zusätzliches Material zu folgenden Gebieten: multilineare Algebra, höhere Zahlentheorie, projektive Geometrie, algebraische Geometrie und Geometrien der modernen Physik.
Prof. Dr. Eberhard Zeidler, MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig
Autoren/Hrsg.
Weitere Infos & Material
1;Vorwort;6
2;Inhaltsverzeichnis;10
3;KAPITEL 2 ALGEBRA;13
3.1;2.1 Elementare Methoden;13
3.1.1;2.1.1 Kombinatorik;13
3.1.2;2.1.2 Determinanten;16
3.1.3;2.1.3 Matrizen;20
3.1.4;2.1.4 Lineare Gleichungssysteme;24
3.1.5;2.1.5 Das Rechnen mit Polynomen;30
3.1.6;2.1.6 Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra von Gauß;32
3.1.7;2.1.7 Partialbruchzerlegung;39
3.2;2.2 Matrizenkalkül;40
3.2.1;2.2.1 Das Spektrum einer Matrix;40
3.2.2;2.2.2 Normalformen von Matrizen;42
3.2.3;2.2.3 Matrizenfunktionen;50
3.3;2.3 Lineare Algebra;52
3.3.1;2.3.1 Grundideen;52
3.3.2;2.3.2 Lineare Räume;53
3.3.3;2.3.3 Lineare Operatoren;55
3.3.4;2.3.4 Das Rechnen mit linearen Räumen;60
3.3.5;2.3.5 Dualität;64
3.4;2.4 Multilineare Algebra;65
3.4.1;2.4.1 Algebren;66
3.4.2;2.4.2 Das Rechnen mit Multilinearformen;66
3.4.3;2.4.3 Universelle Produkte;72
3.4.4;2.4.4 Liealgebren;76
3.4.5;2.4.5 Superalgebren;77
3.5;2.5 Algebraische Strukturen;78
3.5.1;2.5.1 Gruppen;78
3.5.2;2.5.2 Ringe;84
3.5.3;2.5.3 Körper;87
3.6;2.6 Galoistheorie und algebraische Gleichungen;90
3.6.1;2.6.1 Die drei berühmten Probleme der Antike;90
3.6.2;2.6.2 Der Hauptsatz der Galoistheorie;90
3.6.3;2.6.3 Der verallgemeinerte Fundamentalsatz der Algebra;93
3.6.4;2.6.4 Klassifikation von Körpererweiterungen;94
3.6.5;2.6.5 Der Hauptsatz über Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind;95
3.6.6;2.6.6 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal;97
3.7;2.7 Zahlentheorie;100
3.7.1;2.7.1 Grundideen;100
3.7.2;2.7.2 Der Euklidische Algorithmus;102
3.7.3;2.7.3 Die Verteilung der Primzahlen;105
3.7.4;2.7.4 Additive Zerlegungen;111
3.7.5;2.7.5 Die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale Zahlen und Kettenbrüche;114
3.7.6;2.7.6 Transzendente Zahlen;120
3.7.7;2.7.7 Anwendung auf die Zahl p;123
3.7.8;2.7.8 Gaußsche Kongruenzen;128
3.7.9;2.7.9 Minkowskis Geometrie der Zahlen;131
3.7.10;2.7.10 Das fundamentale Lokal-Global-Prinzip der Zahlentheorie;131
3.7.11;2.7.11 Ideale und höhere Teilbarkeitslehre;133
3.7.12;2.7.12 Anwendungen auf quadratische Zahlkörper;135
3.7.13;2.7.13 Die analytische Klassenzahlformel;137
3.7.14;2.7.14 Die Hilbertsche Klassenkörpertheorie für allgemeine Zahlkörper;138
3.8;Literatur zu Kapitel 2;139
4;KAPITEL 3 GEOMETRIE;141
4.1;3.1 Die Grundidee der Geometrie (Erlanger Programm);141
4.2;3.2 Elementare Geometrie;142
4.2.1;3.2.1 Ebene Trigonometrie;143
4.2.2;3.2.2 Anwendungen in der Geodäsie;150
4.2.3;3.2.3 Sphärische Trigonometrie;152
4.2.4;3.2.4 Anwendungen im Schiffsund Flugverkehr;158
4.2.5;3.2.5 Die Hilbertschen Axiome der Geometrie;159
4.2.6;3.2.6 Das Parallelenaxiom des Euklid;163
4.2.7;3.2.7 Die nichteuklidische elliptische Geometrie;163
4.2.8;3.2.8 Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie;164
4.3;3.3 Anwendungen der Vektoralgebra in der analytischen Geometrie;167
4.3.1;3.3.1 Geraden in der Ebene;167
4.3.2;3.3.2 Geraden und Ebenen im Raum;169
4.3.3;3.3.3 Volumina;171
4.4;3.4 Euklidische Geometrie (Geometrie der Bewegungen);171
4.4.1;3.4.1 Die euklidische Bewegungsgruppe;171
4.4.2;3.4.2 Kegelschnitte;172
4.4.3;3.4.3 Flächen zweiter Ordnung;175
4.5;3.5 Projektive Geometrie;179
4.5.1;3.5.1 Grundideen;179
4.5.2;3.5.2 Projektive Abbildungen;181
4.5.3;3.5.3 Der n-dimensionale reelle projektive Raum;182
4.5.4;3.5.4 Der n-dimensionale komplexe projektive Raum;184
4.5.5;3.5.5 Die Klassifikation der ebenen Geometrien;185
4.6;3.6 Differentialgeometrie;188
4.6.1;3.6.1 Ebene Kurven;189
4.6.2;3.6.2 Raumkurven;195
4.6.3;3.6.3 Die lokale Gaußsche Flächentheorie;199
4.6.4;3.6.4 Globale Gaußsche Flächentheorie;209
4.7;3.7 Beispiele für ebene Kurven;210
4.7.1;3.7.1 Einhüllende und Kaustik;210
4.7.2;3.7.2 Evoluten;210
4.7.3;3.7.3 Evolventen;211
4.7.4;3.7.4 Die Traktrix von Huygens und die Kettenlinie;212
4.7.5;3.7.5 Die Lemniskate von Jakob Bernoulli und die Cassinischen Kurven;213
4.7.6;3.7.6 Die Lissajou-Kurven;214
4.7.7;3.7.7 Spiralen;214
4.7.8;3.7.8 Strahlkurven (Konchoiden);216
4.7.9;3.7.9 Radkurven;217
4.8;3.8 Algebraische Geometrie;221
4.8.1;3.8.1 Grundideen;221
4.8.2;3.8.2 Beispiele ebener algebraischer Kurven;230
4.8.3;3.8.3 Anwendungen in der Integralrechnung;235
4.8.4;3.8.4 Die projektiv-komplexe Form einer ebenen algebraischen Kurve;237
4.8.5;3.8.5 Das Geschlecht einer Kurve;241
4.8.6;3.8.6 Diophantische Geometrie;244
4.8.7;3.8.7 Analytische Mengen und der Vorbereitungssatz von Weierstraß;250
4.8.8;3.8.8 Die Auflösung von Singularitäten;251
4.8.9;3.8.9 Die Algebraisierung der modernen algebraischen Geometrie;253
4.9;3.9 Geometrien der modernen Physik;254
4.9.1;3.9.1 Grundideen;254
4.9.2;3.9.2 Unitäre Geometrie, Hilberträume und Elementarteilchen;257
4.9.3;3.9.3 Pseudounitäre Geometrie;264
4.9.4;3.9.4 Minkowskigeometrie;267
4.9.5;3.9.5 Anwendungen in der speziellen Relativitätstheorie;271
4.9.6;3.9.6 Spingeometrie und Fermionen;277
4.9.7;3.9.7 Fast komplexe Strukturen;286
4.9.8;3.9.8 Symplektische Geometrie;286
4.10;Literatur zu Kapitel 3;288
5;KAPITEL 4 GRUNDLAGEN DER MATHEMATIK;292
5.1;4.1 Der Sprachgebrauch in der Mathematik;292
5.1.1;4.1.1 Wahre und falsche Aussagen;292
5.1.2;4.1.2 Implikationen;293
5.1.3;4.1.3 Tautologien und logische Gesetze;295
5.2;4.2 Beweismethoden;297
5.2.1;4.2.1 Indirekte Beweise;297
5.2.2;4.2.2 Induktionsbeweise;297
5.2.3;4.2.3 Eindeutigkeitsbeweise;298
5.2.4;4.2.4 Existenzbeweise;298
5.2.5;4.2.5 Die Notwendigkeit von Beweisen im Computerzeitalter;300
5.2.6;4.2.6 Falsche Beweise;302
5.3;4.3 Anschauliche Mengentheorie;303
5.3.1;4.3.1 Grundideen;303
5.3.2;4.3.2 Das Rechnen mit Mengen;305
5.3.3;4.3.3 Abbildungen;308
5.3.4;4.3.4 Gleichmächtige Mengen;312
5.3.5;4.3.5 Relationen;313
5.3.6;4.3.6 Mengensysteme;315
5.4;4.4 Mathematische Logik;316
5.4.1;4.4.1 Aussagenlogik;316
5.4.2;4.4.2 Prädikatenlogik;319
5.4.3;4.4.3 Die Axiome der Mengentheorie;321
5.4.4;4.4.4 Cantors Strukturierung des Unendlichen;322
5.5;4.5 Geschichte der axiomatischen Methode und ihr Verhältnis zur philosophischen Erkenntnistheorie;325
5.6;Literatur zu Kapitel 4;328
6;Index;329
