Tinsson Plans d'expérience: constructions et analyses statistiques

1. Auflage 2010
ISBN: 978-3-642-11472-4
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Französisch, Band 67, 532 Seiten

Reihe: Mathématiques et Applications

Il est souvent nécessaire de réaliser des expériences afin de modéliser le comportement d'un phénomène complexe. La méthode des plans d'expérience a pour objectif d'obtenir un maximum d'information sur le phénomène étudié en un minimum d'expériences. Ceci est primordial si l'objectif est un gain de temps ou de qualité. Cet ouvrage détaille les fondements théoriques de la méthode mathématique des plans d'expérience. Ceci est abordé tout au long des quatre parties suivantes. Présentation générale de la méthode et des outils mathématiques. Plans d'expérience pour facteurs quantitatifs : modèle d'ordre un, modèle à effets d'interactions, surface de réponse, modèle à effets de blocs et modèle pour mélanges. Plans d'expérience pour facteurs qualitatifs : modèle additif, modèle à effets d'interactions et modèle à effets de blocs. Efficacité et optimalité : optimalité uniforme, A, D et E-efficacité, généralisation à la notion de Fq-efficacité, optimalité universelle. De nombreux exemples sont utilisés afin d'illustrer les diverses techniques présentées. Les démonstrations mathématiques de la plupart des résultats énoncés figurent en annexe. When a complex phenomenon is studied it is common to run experiments in order to fit a model. In such situations experimental designs can be used to find a maximum of information in a minimum of trials. This is of prime importance when the goal is to save time or improve quality. This book is structured in four parts: a general presentation of the method and mathematical background, experimental designs for
quantitative factors, experimental designs for qualitative factors, and optimality of experimental designs. Numerous examples are introduced in order to illustrate the applications and mathematical proofs for most of the results are given in appendices.

Autoren/Hrsg.

Tinsson, Walter

Inhaltsverzeichnis

1;Table des matieres;6
2;Preface;14
3;Partie I Généralités;17
3.1;1 La notion de plan d'expérience;18
3.1.1;1.1 Introduction;18
3.1.2;1.2 La démarche de planification expérimentale;19
3.1.2.1;1.2.1 Objectifs;19
3.1.2.2;1.2.2 Réponse;19
3.1.2.3;1.2.3 Facteurs;20
3.1.2.4;1.2.4 Domaine expérimental;21
3.1.2.5;1.2.5 Réalisation des expériences;22
3.1.3;1.3 Historique;29
3.1.4;1.4 Guide de lecture de l'ouvrage;30
3.1.4.1;1.4.1 Positionnement;30
3.1.4.2;1.4.2 Structure;31
3.1.4.3;1.4.3 Analyse des exemples;34
3.1.5;1.5 Thèmes non abordés dans l'ouvrage;35
3.1.5.1;1.5.1 Plans pour modèles mixtes;36
3.1.5.2;1.5.2 Plans pour modèles non linéaires;36
3.1.5.3;1.5.3 Plans à effets de voisinage;37
3.1.5.4;1.5.4 Plans d'expérience numériques;38
3.1.6;1.6 Logiciels pour les plans d'expérience;38
3.1.7;1.7 Présentation d'une étude;39
3.1.7.1;1.7.1 Facteurs et réponse;40
3.1.7.2;1.7.2 Domaine expérimental;40
3.1.7.3;1.7.3 Codage des facteurs;41
3.1.7.4;1.7.4 Plan d'expérience utilisé;41
3.1.7.5;1.7.5 Ajustement d'un modèle d'ordre un;43
3.1.7.6;1.7.6 Ajustement d'un modèle à effets d'interactions;45
3.1.7.7;1.7.7 Ajustement d'un modèle d'ordre deux;47
3.1.7.8;1.7.8 Recherche des conditions optimales;50
3.1.7.9;1.7.9 Conclusion;51
3.2;2 Outils mathématiques pour les plans d'expérience;53
3.2.1;2.1 Introduction;53
3.2.2;2.2 Algèbre;54
3.2.2.1;2.2.1 Calcul matriciel;54
3.2.2.2;2.2.2 Projection orthogonale;55
3.2.2.3;2.2.3 Analyse spectrale;55
3.2.2.4;2.2.4 Matrices particulières;56
3.2.2.5;2.2.5 Notion de groupe;57
3.2.3;2.3 Probabilités;57
3.2.3.1;2.3.1 Variables aléatoires réelles;57
3.2.3.2;2.3.2 Vecteurs aléatoires;58
3.2.4;2.4 Statistiques;59
3.2.4.1;2.4.1 Notion d'estimateur;59
3.2.4.2;2.4.2 Modèle statistique;60
3.2.4.3;2.4.3 Modélisation linéaire;61
3.2.4.4;2.4.4 Estimation au sens des moindres carrés;63
3.2.4.5;2.4.5 Prédiction de la réponse moyenne;64
3.2.5;2.5 Analyse de la variance;65
3.2.5.1;2.5.1 Décomposition fondamentale;65
3.2.5.2;2.5.2 Coefficient de corrélation linéaire multiple;67
3.2.5.3;2.5.3 Estimation de 2;68
3.2.5.4;2.5.4 Décomposition plus fine de SSE;69
3.2.6;2.6 Tests d'hypothèses;72
3.2.6.1;2.6.1 Exemple introductif;72
3.2.6.2;2.6.2 Cas général;73
3.2.6.3;2.6.3 Test de validité du modèle;74
3.2.6.4;2.6.4 Test de significativité des paramètres;75
3.2.6.5;2.6.5 Test d'ajustement du modèle;76
3.2.6.6;2.6.6 Exemples;77
3.2.7;2.7 (Compléments) Démonstrations;83
4;Partie II Plans d'expérience pour facteurs quantitatifs;88
4.1;3 Plans d'expérience pour modèles d'ordre un;89
4.1.1;3.1 Introduction;89
4.1.2;3.2 Généralités;90
4.1.2.1;3.2.1 Variables codées;90
4.1.2.2;3.2.2 Modèle utilisé;91
4.1.2.3;3.2.3 Moments d'un plan d'expérience;91
4.1.2.4;3.2.4 Plans d'expérience usuels;92
4.1.3;3.3 Plans factoriels complets;94
4.1.3.1;3.3.1 Définition;94
4.1.3.2;3.3.2 Propriétés;96
4.1.3.3;3.3.3 Intérêt des réplications centrales;97
4.1.4;3.4 Fractions régulières de plans factoriels;98
4.1.4.1;3.4.1 Exemple;98
4.1.4.2;3.4.2 Contrastes et produit d'Hadamard;99
4.1.4.3;3.4.3 Générateurs d'une fraction régulière;101
4.1.4.4;3.4.4 Fractions régulières de résolution III;104
4.1.4.5;3.4.5 Taille des plans factoriels;105
4.1.5;3.5 Plans simplexes;106
4.1.5.1;3.5.1 Définition;106
4.1.5.2;3.5.2 Propriétés;108
4.1.6;3.6 Plans de Plackett et Burman ;109
4.1.6.1;3.6.1 Définition;109
4.1.6.2;3.6.2 Propriétés;111
4.1.7;3.7 Exemple d'application;111
4.1.8;3.8 Résumé;118
4.1.9;3.9 (Compléments) Démonstrations;121
4.2;4 Plans d'expérience pour modèles à effets d'interactions;127
4.2.1;4.1 Introduction;127
4.2.2;4.2 Généralités;128
4.2.2.1;4.2.1 Modèle utilisé;128
4.2.2.2;4.2.2 Plans d'expérience usuels;129
4.2.3;4.3 Plans factoriels complets;130
4.2.4;4.4 Fractions régulières de plans factoriels;132
4.2.4.1;4.4.1 Fractions régulières de résolution V;132
4.2.4.2;4.4.2 Taille des plans factoriels;133
4.2.5;4.5 Généralisation à des interactions quelconques;134
4.2.5.1;4.5.1 Modèle à effets d'interactions d'ordre 3;134
4.2.5.2;4.5.2 Modèle contenant tous les effets d'interactions;137
4.2.5.3;4.5.3 Application aux fractions de résolution III;139
4.2.6;4.6 Utilisation de modèles incomplets;141
4.2.7;4.7 Exemple d'application;145
4.2.8;4.8 Résumé;155
4.2.9;4.9 (Compléments) Démonstrations;159
4.3;5 Plans d'expérience pour surfaces de réponse;163
4.3.1;5.1 Introduction;163
4.3.2;5.2 Généralités;164
4.3.2.1;5.2.1 Modèle utilisé;164
4.3.2.2;5.2.2 Plans d'expérience usuels;165
4.3.2.3;5.2.3 Inversion de la matrice des moments d'un plan usuel;166
4.3.2.4;5.2.4 Estimations et prédictions;167
4.3.2.5;5.2.5 Isovariance par transformations orthogonales;168
4.3.2.6;5.2.6 Graphes des variances extrêmes;170
4.3.3;5.3 Plans composites centrés;173
4.3.3.1;5.3.1 Définition;173
4.3.3.2;5.3.2 Propriétés;174
4.3.3.3;5.3.3 Intérêt des réplications centrales;178
4.3.3.4;5.3.4 Plans composites centrés de petite taille;180
4.3.3.5;5.3.5 Taille des plans composites centrés;181
4.3.4;5.4 Plans de Box et Behnken;182
4.3.4.1;5.4.1 Définition;182
4.3.4.2;5.4.2 Propriétés;184
4.3.5;5.5 Plans simplexes augmentés;185
4.3.5.1;5.5.1 Définition;185
4.3.5.2;5.5.2 Propriétés;187
4.3.6;5.6 Plans hybrides;188
4.3.6.1;5.6.1 Définition;188
4.3.6.2;5.6.2 Propriétés;190
4.3.7;5.7 Exemple d'application;192
4.3.8;5.8 Résumé;200
4.3.9;5.9 (Compléments) Résultats théoriques;205
4.3.9.1;5.9.1 Quelques résultats de calcul matriciel;205
4.3.10;5.10 (Compléments) Démonstrations;206
4.4;6 Plans d'expérience en blocs;215
4.4.1;6.1 Introduction;215
4.4.2;6.2 Généralités;216
4.4.2.1;6.2.1 Modèle utilisé;216
4.4.2.2;6.2.2 Plans d'expérience usuels;218
4.4.2.3;6.2.3 Inversion de la matrice des moments généralisée;220
4.4.2.4;6.2.4 Estimations et prédictions;220
4.4.2.5;6.2.5 Comparaison des effets de blocs;223
4.4.3;6.3 Plans bloqués orthogonalement;224
4.4.3.1;6.3.1 Définition;224
4.4.3.2;6.3.2 Reconstruction de l'information;225
4.4.3.3;6.3.3 Isovariance par transformations orthogonales;226
4.4.3.4;6.3.4 Une méthode universelle de blocage orthogonal;228
4.4.4;6.4 Exemples de constructions;229
4.4.4.1;6.4.1 Plans composites centrés;229
4.4.4.2;6.4.2 Plans de Box et Benkhen;233
4.4.4.3;6.4.3 Plans hybrides;235
4.4.5;6.5 Exemple d'application;236
4.4.6;6.6 Résumé;244
4.4.7;6.7 (Compléments) Démonstrations;251
4.5;7 Plans d'expérience pour mélanges;261
4.5.1;7.1 Introduction;261
4.5.2;7.2 Généralités;262
4.5.2.1;7.2.1 Hypothèses fondamentales;262
4.5.2.2;7.2.2 Représentation graphique d'un mélange;262
4.5.2.3;7.2.3 Notation standard des réponses;265
4.5.3;7.3 Modèles pour mélanges;266
4.5.3.1;7.3.1 Modèle d'ordre un;266
4.5.3.2;7.3.2 Modèle d'ordre deux;267
4.5.3.3;7.3.3 Modèle d'ordre trois complet;269
4.5.3.4;7.3.4 Modèle synergique d'ordre trois;270
4.5.3.5;7.3.5 Modèle synergique d'ordre quelconque;272
4.5.3.6;7.3.6 Résumé;273
4.5.3.7;7.3.7 Analyse de la variance;274
4.5.4;7.4 Réseaux de Scheffé;275
4.5.4.1;7.4.1 Définition;275
4.5.4.2;7.4.2 Ajustement de divers modèles;276
4.5.5;7.5 Réseaux de Scheffé centrés;279
4.5.5.1;7.5.1 Définition;279
4.5.5.2;7.5.2 Ajustement d'un modèle synergique;281
4.5.6;7.6 Autres plans pour mélanges;282
4.5.6.1;7.6.1 Réseaux de Scheffé déséquilibrés;282
4.5.6.2;7.6.2 Autres types de plans d'expérience;283
4.5.7;7.7 Introduction d'effets de blocs;284
4.5.7.1;7.7.1 Modèle à effets de blocs;284
4.5.7.2;7.7.2 Singularité liée au modèle;285
4.5.7.3;7.7.3 Plans bloqués orthogonalement;286
4.5.7.4;7.7.4 Estimation des effets de blocs;287
4.5.8;7.8 Exemple d'application;288
4.5.9;7.9 Résumé;296
4.5.10;7.10 (Compléments) Résultats théoriques;299
4.5.10.1;7.10.1 Ajustement d'un modèle synergique;299
4.5.11;7.11 (Compléments) Démonstrations;301
5;Partie III Plans d'expérience pour facteurs qualitatifs;312
5.1;8 Plans d'expérience pour facteurs qualitatifs;313
5.1.1;8.1 Introduction;313
5.1.2;8.2 Généralités;314
5.1.2.1;8.2.1 Codage des facteurs qualitatifs;314
5.1.2.2;8.2.2 Notation standard des réponses;315
5.1.2.3;8.2.3 Matrice d'incidence;316
5.1.2.4;8.2.4 Modèle additif;318
5.1.2.5;8.2.5 Contraintes d'identification;319
5.1.2.6;8.2.6 Application au modèle additif;320
5.1.2.7;8.2.7 Plan d'expérience orthogonal;321
5.1.2.8;8.2.8 Propriétés des plans orthogonaux;322
5.1.2.9;8.2.9 Analyse de la variance;323
5.1.3;8.3 Plans factoriels complets;324
5.1.3.1;8.3.1 Définition;324
5.1.3.2;8.3.2 Propriétés;325
5.1.4;8.4 Fractions régulières de plans factoriels;326
5.1.4.1;8.4.1 Cas particulier des facteurs à deux modalités;327
5.1.4.2;8.4.2 Cas général;329
5.1.4.3;8.4.3 Générateurs d'une fraction régulière;331
5.1.4.4;8.4.4 Fractions régulières de résolution III;333
5.1.5;8.5 Autres types de plans fractionnaires;334
5.1.5.1;8.5.1 Existence de plans orthogonaux de petite taille;334
5.1.5.2;8.5.2 Fractions pour nombre de modalités non premier;336
5.1.5.3;8.5.3 Fractions asymétriques;338
5.1.6;8.6 Plans en carrés latins;340
5.1.6.1;8.6.1 Utilisation de carrés latins;340
5.1.6.2;8.6.2 Utilisation de carrés gréco-latins;342
5.1.6.3;8.6.3 Utilisation de carrés hyper-gréco-latins;345
5.1.7;8.7 Autres types de plans d'expérience;346
5.1.7.1;8.7.1 Tables de Taguchi;346
5.1.7.2;8.7.2 Transformations conservant l'orthogonalité;347
5.1.7.3;8.7.3 Plans produit;349
5.1.7.4;8.7.4 Tableaux orthogonaux;350
5.1.7.5;8.7.5 Plans obtenus numériquement;351
5.1.8;8.8 Introduction d'effets d'interaction;352
5.1.9;8.9 Exemple d'application;355
5.1.10;8.10 Résumé;361
5.1.11;8.11 (Compléments) Démonstrations;365
5.2;9 Plans d'expérience en blocs pour facteurs qualitatifs;372
5.2.1;9.1 Introduction;372
5.2.2;9.2 Généralités;373
5.2.2.1;9.2.1 Modèle pour plans en blocs;373
5.2.2.2;9.2.2 Matrices et valeurs remarquables;374
5.2.2.3;9.2.3 Contraintes d'identification;376
5.2.2.4;9.2.4 Equations normales;376
5.2.3;9.3 Plans en blocs complets;380
5.2.3.1;9.3.1 Définition et propriétés;380
5.2.3.2;9.3.2 Estimation des divers effets;381
5.2.4;9.4 Plans en blocs incomplets équilibrés;383
5.2.4.1;9.4.1 Définition et propriétés;383
5.2.4.2;9.4.2 Estimation des divers effets;385
5.2.4.3;9.4.3 Construction des BIBD;387
5.2.5;9.5 Plans en blocs partiellement équilibrés;389
5.2.5.1;9.5.1 Définition et propriétés;389
5.2.5.2;9.5.2 Estimation des divers effets;391
5.2.5.3;9.5.3 Construction des GDD;394
5.2.5.4;9.5.4 Généralisations;395
5.2.6;9.6 Plans cycliques;397
5.2.6.1;9.6.1 Définition;397
5.2.6.2;9.6.2 Propriétés;398
5.2.7;9.7 Exemple d'application;399
5.2.8;9.8 Résumé;403
5.2.9;9.9 (Compléments) Résultats théoriques;408
5.2.9.1;9.9.1 Analyse d'un plan cyclique;408
5.2.10;9.10 (Compléments) Démonstrations;411
6;Partie IV Optimalité des plans d'expérience;423
6.1;10 Critères d'optimalité;424
6.1.1;10.1 Introduction;424
6.1.2;10.2 Rappels et compléments;425
6.1.2.1;10.2.1 Ensembles ordonnés;425
6.1.2.2;10.2.2 Ordres sur les vecteurs;425
6.1.2.3;10.2.3 Matrice d'information;428
6.1.2.4;10.2.4 Complément d'analyse spectrale;433
6.1.3;10.3 Optimalité uniforme;434
6.1.3.1;10.3.1 Exemple introductif;434
6.1.3.2;10.3.2 Extension au cas vectoriel;435
6.1.3.3;10.3.3 Propriétés;436
6.1.3.4;10.3.4 Généralisation;438
6.1.4;10.4 Critères d'efficacité;440
6.1.4.1;10.4.1 Généralités et hypothèses;440
6.1.4.2;10.4.2 Le critère de A-efficacité;441
6.1.4.3;10.4.3 Le critère de D-efficacité;442
6.1.4.4;10.4.4 Le critère de E-efficacité;443
6.1.4.5;10.4.5 Le critère général de q-efficacité;444
6.1.4.6;10.4.6 Propriétés;445
6.1.4.7;10.4.7 Caractérisation des plans d'expérience q-optimaux;447
6.1.4.8;10.4.8 Plans q-optimaux obtenus numériquement;450
6.1.5;10.5 Optimalité universelle;452
6.1.5.1;10.5.1 Définition;452
6.1.5.2;10.5.2 Propriétés;454
6.1.6;10.6 Exemples d'applications;455
6.1.6.1;10.6.1 Plans optimaux pour modèles d'ordre un;456
6.1.6.2;10.6.2 Plans optimaux pour modèles avec interactions;457
6.1.6.3;10.6.3 Plans optimaux pour surfaces de réponse;458
6.1.6.4;10.6.4 Plans optimaux pour modèles à effets de blocs;463
6.1.6.5;10.6.5 Plans optimaux pour modèles à facteurs qualitatifs;464
6.1.7;10.7 Résumé;467
6.1.8;10.8 (Compléments) Démonstrations;472
7;Partie V Annexes;490
7.1;A Plans factoriels et représentation linéaire des groupes;491
7.1.1;A.1 Représentation linéaire des groupes finis;491
7.1.2;A.2 Application aux plans à deux niveaux;494
7.1.2.1;A.2.1 Cas des plans factoriels complets;494
7.1.2.2;A.2.2 Cas des fractions régulières;498
7.1.3;A.3 Généralisation;501
7.1.3.1;A.3.1 Cas des plans factoriels complets;502
7.1.3.2;A.3.2 Cas des fractions régulières;506
7.2;B Plans d'expérience classiques;512
7.2.1;B.1 Plans factoriels complets;512
7.2.2;B.2 Fractions régulières de plans complets;513
7.2.3;B.3 Plans simplexes;513
7.2.4;B.4 Plans de Plackett et Burman;514
7.2.5;B.5 Plans composites centrés;514
7.2.6;B.6 Plans de Box et Behnken;515
7.2.7;B.7 Plans simplexes augmentés;515
7.2.8;B.8 Plans hybrides;516
7.2.9;B.9 Réseaux de Scheffé;517
7.2.10;B.10 Réseaux de Scheffé centrés;517
7.2.11;B.11 Plans factoriels complets pour facteurs qualitatifs;518
7.2.12;B.12 Fractions régulières de plans complets pour facteurs qualitatifs;518
7.2.13;B.13 Plans en carrés latins;519
7.2.14;B.14 Tables de Taguchi;520
7.2.15;B.15 Plans en blocs complets;521
7.2.16;B.16 Plans en blocs incomplets équilibrés;521
7.2.17;B.17 Plans en blocs partiellement équilibrés;521
7.3;C Notations utilisées;523
8;Bibliographie;526
9;Index;533