Sonar 3000 Jahre Analysis

Geschichte, Kulturen, Menschen
2011
ISBN: 978-3-642-17204-5
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 727 Seiten, eBook

Reihe: Vom Zählstein zum Computer

Was sind eigentlich unendlich kleine und unendlich große Größen, Indivisible und Infinitesimale? Was bedeuten Begriffe wie reelle Zahl, Stetigkeit, Kontinuum, Differential und Integral? Die Antwort gibt dieses Buch: Ausführlich werden darin Entstehung und Entwicklung dieser grundlegenden Begriffe des erst im 19. Jh. Analysis genannten Teilgebietes der Mathematik von der Antike bis heute beschrieben, durch viele Figuren und farbige Abbildungen illustriert und in Tabellen zusammengefasst. All dies eingebettet in die historischen und kulturellen Ereignisse der einzelnen Epochen, die Lebensläufe der um Erkenntnis ringenden Gelehrten und kurze Einblicke in die von ihnen entwickelten modernen Teilgebiete der Analysis und deren Anwendungen in fast allen Bereichen unseres Lebens. Das Buch ist eine wichtige und wertvolle Fortsetzung der Reihe "Vom Zählstein zum Computer".

Zielgruppe

Popular/general

Autoren/Hrsg.

Sonar, Thomas

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort des Autors;8
2;Vorwort des Herausgebers;11
3;Hinweise für den Leser;14
4;Inhaltsverzeichnis;15
5;1 Prolog: 3000 Jahre Analysis;21
5.1;1.1 Was ist Analysis?;23
5.2;1.2 Vorläufer von ?;24
5.3;1.3 Das ? der Bibel;27
5.4;1.4 Volumen eines Pyramidenstumpfes;28
5.5;1.5 Babylonische Näherung an ?2;33
6;2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike;35
6.1;2.1 Die Griechen formen die Mathematik;38
6.1.1;2.1.1 Der Beginn: Thales von Milet und seine Schüler;39
6.1.2;2.1.2 Die Pythagoreer;41
6.1.3;2.1.3 Die Proportionenlehre des Eudoxos in Euklids Elementen;47
6.1.4;2.1.4 Die Methode der Exhaustion – Integration auf griechisch;53
6.1.5;2.1.5 Das Problem der Kontingenzwinkel;57
6.1.6;2.1.6 Die drei großen klassischen Probleme;58
6.2;2.2 Kontinuum versus Atome – Infinitesimale versus Indivisible;67
6.2.1;2.2.1 Die Eleaten;68
6.2.2;2.2.2 Atomismus und Kontinuum;69
6.2.3;2.2.3 Indivisible und Infinitesimale;71
6.2.4;2.2.4 Die Zenonschen Paradoxien;74
6.3;2.3 Archimedes;79
6.3.1;2.3.1 Leben, Tod und Anekdoten;79
6.3.2;2.3.2 Das Schicksal der archimedischen Schriften;87
6.3.3;2.3.3 Die Methodenschrift: Zugang hinsichtlich der mechanischen Sätze;91
6.3.4;2.3.4 Die Quadratur der Parabel durch Exhaustion;96
6.3.5;2.3.5 Über Spiralen;100
6.3.6;2.3.6 Archimedes fängt ?;104
6.4;2.4 Die Beiträge der Römer zur Analysis;106
6.5;2.5 Aufgaben zu Kapitel 2;109
7;3 Wie Wissen wanderte – Vom Orient zum Okzident;111
7.1;3.1 Der Niedergang der Mathematik und die Rettung durch die Araber;113
7.2;3.2 Die Beiträge der Araber zur Analysis;118
7.2.1;3.2.1 Avicenna (Ibn S?n?): Universalgelehrter im Orient;118
7.2.2;3.2.2 Alhazen (Al-Haitam): Physiker und Mathematiker;119
7.2.3;3.2.3 Averroës (Ibn Rušd): Aristoteliker im Islam;126
7.3;3.3 Aufgaben zu Kapitel 3;128
8;4 Kontinuum und Atomistik in der Scholastik;129
8.1;4.1 Der Wiederbeginn in Europa;131
8.2;4.2 Die große Zeit der Übersetzer;140
8.3;4.3 Das Kontinuum in der Scholastik;147
8.3.1;4.3.1 Robert Grosseteste;150
8.3.2;4.3.2 Roger Bacon;151
8.3.3;4.3.3 Albertus Magnus;153
8.3.4;4.3.4 Thomas Bradwardine;156
8.3.5;4.3.5 Nicole Oresme;162
8.4;4.4 Scholastische „Abweichler“;168
8.5;4.5 Nicolaus von Kues;170
8.5.1;4.5.1 Die mathematischen Werke;172
8.6;4.6 Aufgaben zu Kapitel 4;176
9;5 Indivisible und Infinitesimale in der Renaissance;177
9.1;5.1 Renaissance: Die Wiedergeburt der Antike;179
9.2;5.2 Die Schwerpunktrechner;182
9.3;5.3 Johannes Kepler;190
9.3.1;5.3.1 Neue Stereometrie der Fässer;210
9.4;5.4 Galileo Galilei;215
9.4.1;5.4.1 Der Umgang Galileis mit dem Unendlichen;223
9.5;5.5 Cavalieri, Guldin, Torricelli und die hohe Kunst der Indivisiblen;228
9.5.1;5.5.1 Die Indivisiblenrechnung nach Cavalieri;232
9.5.2;5.5.2 Die Kritik durch Guldin;240
9.5.3;5.5.3 Die Kritik durch Galilei;241
9.5.4;5.5.4 Torricellis scheinbares Paradoxon;242
9.5.5;5.5.5 De Saint-Vincent und die Fläche unter der Hyperbel;244
9.6;5.6 Aufgaben zu Kapitel 5;253
10;6 An der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert;254
10.1;6.1 Analysis vor Leibniz in Frankreich;256
10.1.1;6.1.1 Frankreich an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert;256
10.1.2;6.1.2 René Descartes;259
10.1.3;6.1.3 Pierre de Fermat;269
10.1.4;6.1.4 Blaise Pascal;279
10.1.5;6.1.5 Gilles Personne de Roberval;292
10.2;6.2 Analysis vor Leibniz in den Niederlanden;298
10.2.1;6.2.1 Frans van Schooten jr.;300
10.2.2;6.2.2 René François Walther de Sluse;300
10.2.3;6.2.3 Johann van Waveren Hudde;302
10.2.4;6.2.4 Christiaan Huygens;305
10.3;6.3 Analysis vor Newton in England;308
10.3.1;6.3.1 Die Entdeckung der Logarithmen;308
10.3.2;6.3.2 England an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert;309
10.3.3;6.3.3 John Napier und die Napierschen Logarithmen;313
10.3.4;6.3.4 Henry Briggs und seine Logarithmen;320
10.3.5;6.3.5 England im 17. Jahrhundert;331
10.3.6;6.3.6 John Wallis und die Arithmetik des Unendlichen;334
10.3.7;6.3.7 Isaac Barrow und die Liebe zur Geometrie;344
10.3.8;6.3.8 Die Entdeckung der Reihendarstellung des Logarithmus durch Nicolaus Mercator;351
10.3.9;6.3.9 Die ersten Rektifizierungen: Harriot und Neile;356
10.3.10;6.3.10 James Gregory;365
10.4;6.4 Analysis in Indien;366
10.5;6.5 Aufgaben zu Kapitel 6;370
11;7 Newton und Leibniz – Giganten und Widersacher;372
11.1;7.1 Isaac Newton;374
11.1.1;7.1.1 Kindheit und Jugend;374
11.1.2;7.1.2 Der Student in Cambridge;377
11.1.3;7.1.3 Der Lucasische Professor;385
11.1.4;7.1.4 Alchemie, Religion und die große Krise;389
11.1.5;7.1.5 Newton als Präsident der Royal Society;394
11.1.6;7.1.6 Das Binomialtheorem;396
11.1.7;7.1.7 Die Fluxionsrechnung;397
11.1.8;7.1.8 Der Hauptsatz;400
11.1.9;7.1.9 Kettenregel und Substitutionen;402
11.1.10;7.1.10 Das Rechnen mit Reihen;402
11.1.11;7.1.11 Integration durch Substitution;404
11.1.12;7.1.12 Newtons letzte Arbeiten zur Analysis;406
11.1.13;7.1.13 Differentialgleichungen bei Newton;406
11.2;7.2 Gottfried Wilhelm Leibniz;408
11.2.1;7.2.1 Kindheit, Jugend und Studium;408
11.2.2;7.2.2 Leibniz in Mainzer Diensten;411
11.2.3;7.2.3 Leibniz in Hannover;414
11.2.4;7.2.4 Der Prioritätsstreit;420
11.2.5;7.2.5 Erste Erfolge mit Differenzenfolgen;424
11.2.6;7.2.6 Die Leibnizsche Notation;426
11.2.7;7.2.7 Das charakteristische Dreieck;430
11.2.8;7.2.8 Die unendlich kleinen Größen;433
11.2.9;7.2.9 Das Transmutationstheorem;437
11.2.10;7.2.10 Das Kontinuitätsprinzip;440
11.2.11;7.2.11 Differentialgleichungen bei Leibniz;442
11.3;7.3 Erste Kritik: George Berkeley;443
11.4;7.4 Aufgaben zu Kapitel 7;446
12;8 Absolutismus, Aufklärung, Aufbruch zu neuen Ufern;448
12.1;8.1 Historische Einführung;450
12.2;8.2 Jakob und Johann Bernoulli;458
12.2.1;8.2.1 Die Variationsrechnung;463
12.3;8.3 Leonhard Euler;467
12.3.1;8.3.1 Der Funktionsbegriff bei Euler;479
12.3.2;8.3.2 Das unendlich Kleine bei Euler;481
12.3.3;8.3.3 Die trigonometrischen Funktionen;484
12.4;8.4 Brook Taylor;486
12.4.1;8.4.1 Die Taylor-Reihe;488
12.4.2;8.4.2 Bemerkungen zur Differenzenrechnung;489
12.5;8.5 Colin Maclaurin;490
12.6;8.6 Die Algebraisierung beginnt: Joseph-Louis Lagrange;490
12.6.1;8.6.1 Lagranges algebraische Analysis;491
12.7;8.7 Fourier Reihen und mehrdimensionale Analysis;494
12.7.1;8.7.1 Joseph Fourier;494
12.7.2;8.7.2 Frühe Diskussionen um die Schwingungsgleichung;496
12.7.3;8.7.3 Partielle Differentialgleichungen und mehrdimensionale Analysis;497
12.7.4;8.7.4 Eine Vorausschau: Die Bedeutung der Fourier-Reihen für die Analysis;498
12.8;8.8 Aufgaben zu Kapitel 8;503
13;9 Auf dem Weg zu begrifflicher Strenge im 19. Jahrhundert;504
13.1;9.1 Vom Wiener Kongress zum Deutschen Kaiserreich;508
13.2;9.2 Die Entwicklungslinien der Analysis im 19. Jahrhundert;516
13.3;9.3 Bernhard Bolzano und die Paradoxien des Unendlichen;516
13.3.1;9.3.1 Bolzanos Beiträge zur Analysis;519
13.4;9.4 Die Arithmetisierung der Analysis: Cauchy;522
13.4.1;9.4.1 Grenzwert und Stetigkeit;527
13.4.2;9.4.2 Die Konvergenz von Folgen und Reihen;528
13.4.3;9.4.3 Ableitung und Integral;531
13.5;9.5 Die Entwicklung des Integralbegriffs;533
13.6;9.6 Die finale Arithmetisierung der Analysis: Weierstraß;540
13.6.1;9.6.1 Die reellen Zahlen;543
13.6.2;9.6.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Konvergenz;544
13.6.3;9.6.3 Gleichmäßigkeit;546
13.7;9.7 Richard Dedekind und seine Wegbegleiter;548
13.7.1;9.7.1 Die Dedekindschen Schnitte;555
13.8;9.8 Aufgaben zu Kapitel 9;561
14;10 An der Wende zum 20. Jahrhundert: Mengenlehre und die Suche nach dem wahren Kontinuum;562
14.1;10.1 Von der Gründung des Deutschen Kaiserreiches zu den Weltkatastrophen;565
14.2;10.2 Der heilige Georg erlegt den Drachen: Cantor und die Mengenlehre;570
14.2.1;10.2.1 Cantors Konstruktion der reellen Zahlen;580
14.2.2;10.2.2 Cantor und Dedekind;581
14.2.3;10.2.3 Die transfiniten Zahlen;589
14.2.4;10.2.4 Die Rezeption der Mengenlehre;592
14.2.5;10.2.5 Cantor und das unendlich Kleine;593
14.3;10.3 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Paul Du Bois-Reymond;594
14.4;10.4 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Die Intuitionisten;596
14.5;10.5 Vektoranalysis;601
14.6;10.6 Differentialgeometrie;604
14.7;10.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen;606
14.8;10.8 Partielle Differentialgleichungen;609
14.9;10.9 Die Analysis wird noch mächtiger: Funktionalanalysis;611
14.9.1;10.9.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis;611
14.9.2;10.9.2 Ein geschichtlicher Abriss der Funktionalanalysis;615
14.10;10.10 Aufgaben zu Kapitel 10;624
15;11 Ein Kreis schließt sich: Infinitesimale in der Nichtstandardanalysis;626
15.1;11.1 Vom Kalten Krieg bis heute;630
15.1.1;11.1.1 Computer und Sputnikschock;632
15.1.2;11.1.2 Der „Kalte Krieg“ und sein Ende;634
15.1.3;11.1.3 Bologna-Reform, Krisen, Terrorismus;635
15.2;11.2 Die Wiedergeburt der unendlich kleinen Zahlen;637
15.2.1;11.2.1 Die Infinitesimalmathematik im „schwarzen Buch“;639
15.2.2;11.2.2 Die Nichtstandardanalysis von Laugwitz und Schmieden;642
15.3;11.3 Robinson und die Nichtstandardanalysis;644
15.4;11.4 Nichtstandardanalysis durch Axiomatisierung: Der Ansatz von Nelson;646
15.5;11.5 Nichtstandardanalysis und glatte Welten;647
15.6;11.6 Aufgaben zu Kapitel 11;653
16;12 Analysis auf Schritt und Tritt;654
17;Literatur;665
18;Abbildungsverzeichnis;681
19;Personenverzeichnis mit Lebensdaten;700
20;Sachverzeichnis;709

Über Autor(innen)

Prof. Dr. Thomas Sonar, Technische Universität Braunschweig