E-Book, Spanisch, 160 Seiten
Smullyan El universo de Gödel
1. Auflage 2024
ISBN: 978-84-19406-79-8
Verlag: Gedisa Editorial
Format: EPUB
Kopierschutz: Adobe DRM (»Systemvoraussetzungen)
La problemática de la consistencia y la lógica proposicional
E-Book, Spanisch, 160 Seiten
ISBN: 978-84-19406-79-8
Verlag: Gedisa Editorial
Format: EPUB
Kopierschutz: Adobe DRM (»Systemvoraussetzungen)
Raymond Smullyan fue un conocido matemático, filósofo, mago y humorista estadounidense, autor de numerosos libros de lógica y matemática recreativa, entre los cuales cabe destacar What is the name of this book? y A Beginner's Further Guide to Mathematical Logic. Apasionado de la música y la magia, escribió también libros sobre ajedrez y filosofía taoísta.
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El empadronador
Gran parte de la acción en este libro tendrá lugar en la Isla de los Caballeros y los Bribones donde, como ya vimos, los caballeros siempre formulan enunciados verdaderos, los bribones siempre formulan enunciados falsos, y cada habitante es un caballero o un bribón.
Un hecho fundamental en esta isla es que a todo habitante le resulta imposible declarar que es un bribón, porque un caballero nunca mentiría y diría que es un bribón, y un bribón nunca admitiría verazmente que es un bribón.
Los cuatro problemas siguientes introducen los conectores lógicos y, o, si-entonces, y si y sólo si, que se tratarán de modo más formal en el capítulo «Un poco de lógica proposicional».
LA VISITA DE McGREGOR
Una vez, el empadronador señor McGregor realizó cierto trabajo de campo en la Isla de los Caballeros y los Bribones. En esa isla también se denomina a las mujeres caballeros y bribones. En esa visita McGregor decidió entrevistar solamente a los matrimonios.
1. (Y)
McGregor llamó a una puerta; el marido la abrió a medias y le preguntó
a McGregor qué deseaba.
Hago un censo —respondió McGregor—, y necesito información sobre usted y su esposa. ¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero, y cuál, si alguno lo es, es un bribón?
—¡Ambos somos bribones!— dijo el marido enojado mientras cerraba la puerta de un golpe.
¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer? (La solución viene después del problema 2).
2. (0)
En la casa siguiente, McGregor le preguntó al marido: —¿Ambos son bribones?—. El marido respondió: —Por lo menos uno de nosotros lo es.
¿De qué clase es cada uno?
Solución del problema 1. Si el marido fuera un caballero jamás hubiera afirmado que él y la mujer eran bribones. Por lo tanto, debe de ser un bribón. Dado que es un bribón su enunciado es falso; por lo tanto ambos no son bribones. Esto significa que la esposa debe ser un caballero. Por lo tanto, él es un bribón y ella es un caballero.
Solución del problema 2. Si el esposo fuera un bribón, entonces sería verdad que por lo menos uno de los dos es un bribón, en consecuencia un bribón hubiera formulado un enunciado verdadero, lo cual es imposible. Por lo tanto, el esposo debe ser un caballero. Entonces se sigue que su enunciado era verdadero, lo que significa que él o su esposa es un bribón. Dado que él no es un bribón, entonces su esposa lo es. Y por lo tanto la respuesta es la opuesta del problema 1: él es un caballero y ella es un bribón.
El siguiente problema es más sorprendente que los dos anteriores (por lo menos para aquéllos que no lo han visto anteriormente).
3. (Si-entonces)
La siguiente casa que visitó McGregor resultó un mayor enigma. Un hombre algo introvertido abrió la puerta tímidamente. Cuando McGregor le pidió que dijera algo sobre sí mismo y sobre su esposa, lo único que dijo el esposo fue: —Si soy un caballero, entonces también lo es mi esposa.
McGregor se fue no muy complacido. —¿Cómo puedo deducir algo sobre alguno de los dos a partir de una respuesta tan evasiva? —pensó.
Estaba a punto de escribir, «Marido y Mujer ambos desconocidos», cuando recordó súbitamente una vieja lección de lógica de sus días de estudiante universitario. Por supuesto —se dio cuenta—, puedo determinar de qué clase son ambos.
¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer?
Solución. Supongamos que el esposo es un caballero, entonces lo que dijo es verdad; es decir, que si es un caballero, también lo es su esposa y, en consecuencia, la esposa también debe ser un caballero. Esto demuestra que si el esposo es un caballero, también lo es la esposa. Bueno, eso es exactamente lo que dijo el esposo; dijo que si él es un caballero, entonces también lo es su esposa. Por lo tanto formuló un enunciado verdadero, y en consecuencia debe ser un caballero. Ahora sabemos que es un caballero, y ya hemos demostrado que si es un caballero, también lo es su esposa. Por lo tanto marido y mujer deben ser caballeros.
La idea implícita en el último problema tiene ramificaciones más trascendentes de lo que el lector podría advertir. Consideremos la siguiente variante del problema: supongamos que visitamos la isla en busca de oro. Antes de empezar a excavar, queremos descubrir si realmente hay oro en la isla. Hay que hacer la hipótesis de que cada nativo sabe si hay o no hay oro en la isla. Supongamos que un nativo nos dice: «Si soy un caballero, entonces hay oro en la isla». Entonces podemos justificadamente sacar la conclusión de que el nativo debe ser un caballero y que debe haber oro en la isla. El razonamiento es el mismo que el de la solución del problema 3; supongamos que el nativo es un caballero; así es realmente cierto que si es un caballero, hay oro en la isla y en consecuencia hay oro en la isla. Esto demuestra que si es un caballero, entonces hay oro en la isla. Dado que dijo eso precisamente, es un caballero. Por consiguiente, hay oro en la isla.
La solución del problema 3 y su variante son casos especiales del siguiente hecho, que es suficientemente importante para registrarlo como Teorema l.
Teorema l. Dada una proposición p, supongamos que un nativo de la Isla de los Caballeros y los Bribones dice: «Si soy un caballero, entonces p». Entonces el nativo debe ser un caballero y p debe ser verdadera.
La solución del problema 3 es un caso especial del Teorema 1, considerando que p es la proposición de que la esposa del nativo es un caballero. La variante del problema 3 (el problema sobre el oro) también es un caso especial del Teorema 1, considerando que p es la proposición de que hay oro en la isla.
También se sigue a partir del Teorema 1 que ningún habitante de la Isla de los Caballeros y los Bribones puede decir: «Si soy un caballero, entonces Santa Claus existe» (a menos que, por supuesto, Santa Claus realmente sí exista).
4. (Si y sólo si)
Cuando el empadronador entrevistó a la cuarta pareja, el esposo dijo:
—Mi esposa y yo somos de la misma clase; o ambos somos caballeros o ambos bribones.
(El esposo podría haber dicho alternativamente: —Soy un caballero si y sólo si mi esposa es un caballero. Es lo mismo).
¿Qué puede deducirse sobre el marido y qué puede deducirse sobre la mujer?
Solución. No puede determinarse si el esposo es un caballero o un bribón, pero se puede determinar de qué clase es la esposa, del siguiente modo: si la esposa fuera un bribón, el esposo jamás podría afirmar que es de la misma clase que su esposa, porque eso sería equivalente a declarar que es un bribón, lo cual no puede hacer.
Una forma alternativa de considerar el problema es ésta: el esposo es un caballero o un bribón. Si es un caballero, su enunciado es verdadero, en consecuencia él y su esposa realmente son de la misma clase, lo cual significa que la esposa también es un caballero. Por otro lado, si él es un bribón, entonces su enunciado es falso, en consecuencia él y su esposa son de distinta clase, lo cual significa que la esposa, al contrario del esposo, es un caballero. Y por lo tanto, independientemente de que el esposo sea un caballero o un bribón, la esposa debe de ser un caballero. (En este caso, la clase del esposo es «indeterminada»; podría ser un caballero que afirmó verazmente ser como la esposa, o podría ser un bribón, que afirmó falsamente ser como la esposa).
Este problema es un caso especial de lo siguiente: dada una proposición p, supongamos que un habitante de la isla dice: «Soy un caballero si y sólo si p es verdadera». ¿Qué puede deducirse?
Dos proposiciones se denominan equivalentes si ambas son verdaderas o falsas: en otras palabras, si una de ellas es verdadera, también lo será la otra. Dos proposiciones se denominan no equivalentes si no son equivalentes: en otras palabras, si una de ellas es verdadera y la otra es falsa. Ahora, el habitante ha dicho: «Soy un caballero si y sólo si p es verdadera». Si suponemos que k es la proposición de que el habitante es un caballero, entonces el habitante afirma que k es equivalente a p. Si es un caballero, entonces su afirmación es verdadera, en consecuencia k es realmente equivalente a p; y dado que k es verdadera (él es un caballero), entonces p también lo es. Por otro lado, si es un bribón, entonces su afirmación es falsa; k no equivale realmente a p, pero dado que k es falsa (no es un caballero), entonces nuevamente p debe de ser verdadera (porque toda proposición no equivalente a una proposición falsa es obviamente verdadera). Y, por lo tanto, observamos que p debe ser verdadera, pero k es indeterminada. Vamos a registrar este caso como Teorema II.
Teorema ll. Dada una proposición p, supongamos que un habitante dice: «Soy un caballero si y sólo si p». Entonces p debe ser verdadera, independientemente de que el habitante sea un caballero o un bribón.
Regresemos al problema de determinar si hay oro en la isla. Supongamos que un nativo dice: «Soy un caballero si y sólo si hay oro en la isla». Entonces según el Teorema II (considerando que p es la proposición de que hay oro en la isla), vemos que debe haber oro en la isla, aunque no podemos determinar si el nativo es un caballero o un bribón.
Por lo tanto, observamos que si un nativo dice: «Si soy un caballero,...
