Remmert Funktionentheorie I

2. Auflage 1989
ISBN: 978-3-642-97182-2
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, Band 5, 360 Seiten, eBook

Reihe: Grundwissen Mathematik

Aus den Besprechungen: "Aufgelockert durch viele Beispiele und Übungsaufgaben, wird die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen bis zum Residuenkalkül entwickelt. Im Zentrum stehen die Integralsätze von Cauchy. Dabei begnügt sich der Autor oft nicht mit einem einzigen Beweis für einen Satz. Weitere Beweismöglichkeiten werden zumindest skizziert, oder man erhält genaue Angaben über die Orginalarbeiten. Ebenso wird auf die ursprüngliche Formulierung von Sätzen hingewiesen. Jeder Paragraph schließt mit historischen Hinweisen, die auch die persönliche Beziehungen der Beteiligten nicht ausklammert. So erfährt man natürlich die unterschiedlichen Standpunkte von Cauchy und Weierstrass. Neben den Themen, die in keinem Text zur Funktionentheorie fehlen dürfen, findet man auch "Raritäten", etwa: Eisensteins Zugang zu den trigonometrischen Funktionen mittels Reihen oder Ritts Satz über asymptotische Reihenentwicklung, welcher einen berühmten Satz von E. Borel enthält. Das Buch kann als Lehrbuch für Anfänger dienen, aber es ist mehr: Ein Werk, das allen Mathematikern die Funktionentheorie näherbringen kann." Elemente der Mathematik #1

Zielgruppe

Research

Autoren/Hrsg.

Remmert, Reinhold

Inhaltsverzeichnis

Historische Einführung.- A. Elemente der Funktionentheorie.- 0. Komplexe Zahlen und stetige Funktionen.- § 1. Der Körper ? der komplexen Zahlen.- 1. Der Körper ?.- 2. ?-lineare und ?-lineare Abbildungen ???.- 3. Skalarprodukt und absoluter Betrag — 4. Winkeltreue Abbildungen.- § 2. Topologische Grundbegriffe.- 1. Metrische Räume.- 2. Offene und abgeschlossene Mengen.- 3. Konvergente Folgen. Häufungspunkte.- 4. Historisches zum Konvergenzbegriff.- 5. Kompakte Mengen.- § 3. Konvergente Folgen komplexer Zahlen.- 1. Rechenregeln.- 2. Cauchysches Konvergenzkriterium. Charakterisierung kompakter Mengen in ?.- § 4. Konvergente und absolut konvergente Reihen.- 1. Konvergente Reihen komplexer Zahlen.- 2. Absolut konvergente Reihen. Majorantenkriterium.- 3. Umordnungssatz.- 4. Historisches zur absoluten Konvergenz.- 5. Bemerkungen zum Riemannschen Umordnungssatz -.- 6. Reihenproduktsatz.- § 5. Stetige Funktionen.- 1. Stetigkeitsbegriff.- 2. Die ?-Algebra ?(X).- 3. Historisches zum Funktionsbegriff.- 4. Historisches zum Stetigkeitsbegriff.- § 6. Zusammenhängende Räume. Gebiete in ?.- 1. Lokal-konstante Funktionen. Zusammenhangsbegriff.- 2. Wege und Wegzusammenhang.- 3. Gebiete in ?.- 4. Zusammenhangskomponenten von Bereichen.- 5. Rand und Randabstand.- 1. Komplexe Differentialrechnung.- § 1. Komplex differenzierbare Funktionen.- 1. Komplexe Differenzierbarkeit.- 2. Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.- 3. Historisches zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.- § 2. Komplexe und reelle Differenzierbarkeit.- 1. Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen.- 2. Ein hinreichendes Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit.- 3. Beispiele zu den Cauchy-Riemannschen Gleichungen.- 4. Harmonische Funktionen.- § 3. Holomorphe Funktionen.- 1. Differentiationsregeln.- 2. Die ?-Algebra O(D).- 3. Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen.- 4. Historisches zur Notation.- § 4. Partielle Differentiation nach x, y, z und z.- 1. Die partiellen Ableitungen fx,fy,fz,f¯z.- 2. Beziehungen zwischen den Ableitungen ux,uy,vx,vy, fx,fy,fz,f¯z.- 3. Die Cauchy-Riemannsche Differends tialgleichung $${{\partial f} \over {\partial \bar z}} = 0 - 4$$.- 4. Kalkül der Differentialoperatoren ? und ¯?.- 2. Holomorphie und Winkeltreue. Biholomorphe Abbildungen.- § 1. Holomorphe Funktionen und Winkeltreue.- 1. Winkeltreue, Holomorphie und Antiholomorphie.- 2. Winkel- und Orientierungstreue, Holomorphie.- 3. Geometrische Deutung der Winkeltreue.- 4. Zwei Beispiele — 5. Historisches zur Winkeltreue.- § 2. Biholomorphe Abbildungen.- 1. Komplexe 2×2 Matrizen und biholomorphe Abbildungen.- 2. Die biholomorphe Cayleyabbildung $${\rm{H}}\tilde \to {\rm{E,}}\,z \mapsto {{z - i} \over {z + i}} - 3$$.- 3. Bemerkungen zur Cayleyabbildung.- 4.* Bijektive holomorphe Abbildungen von IH und von IE auf die geschlitzte Ebene.- § 3. Automorphismen der oberen Halbebene und des Einheitskreises.- 1. Automorphismen von IH.- 2. Automorphismen von IE.- 3. Die Schreibweise $$\eta {{z - w} \over {\bar wz - 1}}$$ für Automorphismen von IE.- 4. Homogenität von IE und IH.- 3. Konvergenzbegriffe der Funktionentheorie.- § 1. Gleichmä×ige, lokal-gleichmä×ige und kompakte Konvergenz.- 1. Gleichmä×ige Konvergenz.- 2. Lokal-gleichmä×ige Konvergenz.- 3. Kompakte Konvergenz.- 4. Historisches zur gleichmä×igen Konvergenz.- 5.* Kompakte und stetige Konvergenz.- § 2. Konvergenzkriterien.- 1. Cauchysches Konvergenzkriterium.- 2. Weierstra×sches Majorantenkriterium.- § 3. Normal konvergente Reihen.- 1. Normale Konvergenz.- 2. Diskussion der normalen Konvergenz.- 3. Historisches zur normalen Konvergenz.- 4. Potenzreihen.- § 1. Konvergenzkriterien.- 1. Abelsches Konvergenzlemma.- 2. Konvergenzradius.- 3. Formel von CAUCHY-HADAMARD.- 4. Quotientenkriterium.- 5. Historisches zu konvergenten Potenzreihen.- §2. Beispiele konvergenter Potenzreihen.- 1. Exponentialreihe und trigonometrische Reihen. Eulersche Formel.- 2. Logarithmische Reihe und Arcustangensreihe.- 3. Binomische Reihe.- 4.* Konvergenzverhalten auf dem Rand.- 5.* Abelscher Stetigkeitssatz.- § 3. Holomorphie von Potenzreihen.- 1. Formale gliedweise Differentiation und Integration.- 2. Holomorphie von Potenzreihen. Vertauschungssatz.- 3. Historisches zur gliedweisen Differentiation von Reihen.- 4. Beispiele holomorpher Funktionen.- § 4. Struktur der Algebra der konvergenten Potenzreihen.- 1. Ordnungsfunktion.- 2. Einheitensatz.- 3. Normalform konvergenter Potenzreihen.- 4. Bestimmung aller Ideale.- 5. Elementar-transzendente Funktionen.- § 1. Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen.- 1. Charakterisierung von exp z durch die Differentialgleichung.- 2. Additionstheorem der Exponentialfunktion.- 3. Bemerkungen zum Additionstheorem.- 4. Additionstheoreme für cos z und sin z.- 5. Historisches zu cos z und sin z.- 6. Hyperbolische Funktionen.- §2. Epimorphiesatz für exp z und Folgerungen.- 1. Epimorphiesatz.- 2. Die Gleichung Kern(exp) = 27i?.- 3. Periodizität von exp z.- 4. Wertevorrat, Nullstellen und Periodizität von cos z und sin z.- 5. Cotangens- und Tangensfunktion. Arcustangensreihe.- 6. Die Gleichung $${e^{i{\pi \over 2}}} = i$$.- §3. Polarkoordinaten, Einheitswurzeln und natürliche Grenzen.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Einheitswurzeln.- 3. Singulare Punkte und natürliche Grenzen.- 4. Historisches zu natürlichen Grenzen.- § 4. Logarithmusfunktionen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Existenz von Logarithmusfunktionen.- 3. Die Eulersche Folge (1 +z/n)n.- 4. Hauptzweig des Logarithmus.- 5. Historisches zur Logarithmusfunktion im Komplexen.- § 5. Diskussion von Logarithmusfunktionen.- 1. Zu den Identitäten log(wz) = logw+logz und log(expz) = z.- 2. Logarithmus und Arcustangens.- 3. Potenzfunktionen. Formel von NEWTON-ABEL.- 4. Die Riemannsche ?-Funktion.- B. Cauchysche Funktionentheorie.- 6. Komplexe Integralrechnung.- § 0. Integration in reellen Intervallen.- 1. Integralbegriff. Rechenregeln und Standardabschätzung.- 2. Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- § 1. Wegintegrale in ?.- 1. Stetig und stückweise stetig differenzierbare Wege.- 2. Integration längs Wegen.- 3. Die Integrale $$\int\limits_{\partial B} {{{\left( {\zeta - c} \right)}^n}d} \zeta$$.- 4. Historisches zur Integration im Komplexen.- 5. Unabhängigkeit von der Parametrisierung.- 6. Zusammenhang mit reellen Kurvenintegralen.- § 2. Eigenschaften komplexer Wegintegrale.- 1. Rechenregeln.- 2. Standardabschätzung.- 3. Vertauschungssätze.- 4. Das Integral$${1 \over {2\pi i}}\int\limits_{\partial B} {{{d\zeta } \over {\zeta - z}}} $$.- § 3. Wegunabhängigkeit von Integralen. Stammfunktionen.- 1. Stammfunktionen.- 2. Bemerkungen über Stammfunktionen. Integrabilitätskriterium.- 3. Integrabilitätskriterium für Sterngebiete.- 7. Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung.- § 1. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.- 1. Integrallemma von GOURSAT.- 2. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.- 3. Historisches zum Integralsatz.- 4. Historisches zum Integrallemma.- 5.* Reeller Beweis des Integrallemmas.- 6.* Die Fresnelschen Integrale.- 7.* Das Integral Integral$$I\left( z \right): = \int\limits_0^\infty {{t^{ - 1}}\left( {{e^{ - t}} - {e^{ - tz}}} \right)dt} $$.- § 2. Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.- 1. Verschärfung des Cauchyschen Integralsatzes für Sterngebiete.- 2. Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.- 3. Historisches zur Integralformel.- 4.* Die Cauchysche Integralformel für reell stetig differenzierbare Funktionen.- 5 * Schwarzsche Integralformel.- § 3. Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen.- 1. Entwicklungslemma.- 2. Entwicklungssatz von CAUCHY-TAYLOR.- 3. Historisches zum Entwicklungssatz.- 4. Riemannscher Fortsetzungssatz.- 5. Historisches zum Riemannschen Fortsetzungssatz.- § 4. Diskussion des Entwicklungssatzes.- 1. Holomorphie und unendlich häufige komplexe Differenzierbarkeit.- 2. Umbildungssatz.- 3. Analytische Fortsetzung.- 4. Produktsatz für Potenzreihen.- 5. Bestimmung von Konvergenzradien.- § 5.* Spezielle Taylorreihen. Bernoullische Zahlen.- 1. Taylorreihe von $${\rm{von}}\,z{\left( {{e^z} - 1} \right)^{ - 1}}$$. Bernoullische Zahlen.- 2. Taylorreihen von z cotz, tan z und $${z \over {\sin \,z}}$$.- 3. Potenzsummen und Bernoullische Zahlen.- 4. Bernoullische Polynome.- C. Cauchy-Weierstra×-Riemannsche Funktionentheorie.- 8. Fundamentalsätze über holomorphe Funktionen.- § 1. Identitätssatz.- 1. Identitätssatz.- 2. Historisches zum Identitätssatz.- 3. Diskretheit und Abzählbarkeit der a-Stellen.- 4. Nullstellenordnung und Vielfachheit.- 5. Existenz singulärer Punkte.- §2. Der Holomorphiebegriff.- 1. Holomorphie, lokale Integrabilität und konvergente Potenzreihen.- 2. Holomorphie von Integralen.- 3. Holomorphie, Winkel- und Orientierungstreue (endgültige Fassung).- 4. Cauchyscher, Riemannscher und Weierstra×scher Standpunkt. Das Glaubensbekenntnis von WEIERSTRASS.- § 3. Cauchysche Abschätzungen und Ungleichungen für Taylorkoeffizienten.- 1. Cauchysche Abschätzungen für Ableitungen in Kreisscheiben.- 2. Gutzmersche Formel. Maximumprinzip.- 3. Ganze Funktionen. Satz von LIOUVILLE.- 4. Historisches zu den Cauchyschen Ungleichungen und zum Satz von LIOUVILLE.- 5.* Beweis der Cauchyschen Ungleichungen nach WEIERSTRASS.- §4. Konvergenzsätze von WEIERSTRASS.- 1. Weierstra×scher Konvergenzsatz.- 2. Differentiationssätze für Reihen. Weierstra×scher Doppelreihensatz.- 3. Historisches zu den Konvergenzsätzen.- 4. Konvergenzsatz für Folgen von Stammfunktionen.- 5.* Eine Bemerkung WEIERSTRASS’ zur Holomorphie.- 6.* Eine Konstruktion von WEIERSTRASS.- § 5. Offenheitssatz und Maximumprinzip.- 1. Offenheitssatz.- 2. Maximumprinzip.- 3. Historisches zum Maximumprinzip.- 4. Verschärfung des Weierstra×schen Konvergenzsatzes.- 5. Satz von HURWITZ.- 9. Miscellanea.- § 1. Fundamentalsatz der Algebra.- 1. Fundamentalsatz der Algebra.- 2. Vier Beweise des Fundamentalsatzes.- 3. Satz von GAUSS über die Lage der Nullstellen von Ableitungen.- § 2. Schwarzsches Lemma und die Gruppen Aut IE, Aut H.- 1. Schwarzsches Lemma.- 2. Mittelpunktstreue Automorphismen von IE. Die Gruppen Aut und Aut H.- 3. Fixpunkte von Automorphismen.- 4. Historisches zum Schwarzschen Lemma.- 5. Lemma von SCHWARZ-PICK.- 6. Satz von STUDY.- § 3. Holomorphe Logarithmen und holomorphe Wurzeln.- 1. Logarithmische Ableitung. Existenzlemma.- 2. Homologisch einfach zusammenhängende Bereiche. Existenz holomorpher Logarithmusfunktionen.- 3. Holomorphe Wurzelfunktionen.- 4. Die Gleichung $$f\left( z \right) = f\left( c \right)\exp \int\limits_\gamma {{{f'\left( \zeta \right)} \over {f\left( \zeta \right)}}} d\zeta $$.- 5. Die Kraft der Quadratwurzel.- §4. Biholomorphe Abbildungen. Lokale Normalform.- 1. Biholomorphiekriterium.- 2. Lokale Injektivität und lokal-biholomorphe Abbildungen.- 3. Lokale Normalform.- 4. Geometrische Interpretation der lokalen Normalform.- 5. Faktorisierung holomorpher Funktionen.- § 5. Allgemeine Cauchy-Theorie.- 1. Die Indexfunktion indv(z).- 2. Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.- 3. Beweis von iii)?ii) nach DIXON.- 4. Nullhomologie. Charakterisierung homologisch einfach zusammenhängender Bereiche.- §6.* Asymptotische Potenzreihenentwicklungen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz asymptotischer Entwicklungen.- 3. Asymptotische Entwicklungen und Differentiation.- 4. Satz von RITT.- 5. Satz von E. BOREL.- 10. Isolierte Singularitäten. Meromorphe Funktionen.- § 1. Isolierte Singularitäten.- 1. Hebbare Singularitäten. Pole.- 2. Entwicklung von Funktionen um Polstellen.- 3. Wesentliche Singularitäten. Satz von CASORATI und WEIERSTRASS.- 4. Historisches zur Charakterisierung isolierter Singularitäten.- § 2.* Automorphismen punktierter Bereiche.- 1. Isolierte Singularitäten holomorpher Injektionen.- 2. Die Gruppen Aut? und Aut?×.- 3. Automorphismen punktierter beschränkter Bereiche.- 4. Starre Gebiete.- § 3. Meromorphe Funktionen.- 1. Definition der Meromorphie.- 2. Die ?-Algebra M(D) der in D meromorphen Funktionen.- 3. Division von meromorphen Funktionen.- 4. Die Ordnungsfunktion oc.- 11. Konvergente Reihen meromorpher Funktionen.- § 1. Allgemeine Konvergenztheorie.- 1. Kompakte und normale Konvergenz.- 2. Rechenregeln.- 3. Beispiele.- § 2. Die Partialbruchentwicklung von ? cot ? z.- 1. Cotangens und Verdopplungsformel. Die Identität ? cot ?z = ?1(z).- 2. Historisches zur Cotangensreihe und zu ihrem Beweis.- 3. Partialbruchreihen für $${{{\pi ^2}} \over {{{\sin }^2}\pi z}}{\rm{und}}{\pi \over {\sin \pi z}} - 4*.$$ Charakterisierung des Cotangens durch sein Additionstheorem bzw. seine Differentialgleichung.- § 3. Die Eulerschen Formeln für $$\sum\limits_{v \ge 1} {{1 \over {{v^{2n}}}}} $$.- 1. Entwicklung von ?1(z) um 0 und Eulersche Formeln für ?(2n).- 2. Historisches zu den Eulerschen ?(2n)-Formeln.- 3. Differentialgleichung für ?1 und eine Identität für Bernouliische Zahlen.- 4. Die Eisensteinreihen $${\varepsilon _k}\left( z \right): = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {{1 \over {{{\left( {z + v} \right)}^k}}}} $$.- § 4* EISENSTEIN-Theorie trigonometrischer Funktionen.- 1. Additionstheorem.- 2. Eisensteins Grundformeln.- 3. Weitere Eisensteinsche Formeln und die Identität ?1(z) = cot ?z.- 4. Skizze der Theorie der Kreisfunktionen nach EISENSTEIN.- 12. Laurentreihen und Fourierreihen.- § 1. Holomorphe Funktionen in Kreisringen und Laurentreihen.- 1. Cauchytheorie für Kreisringe.- 2. Laurentdarstellung in Kreisringen.- 3. Laurententwicklungen.- 4. Beispiele.- 5. Historisches zum Satz von LAURENT.- 6.* Herleitung des Satzes von LAURENT aus dem Satz von CAUCHY-TAYLOR.- § 2. Eigenschaften von Laurentreihen.- 1. Konvergenzsatz und Identitätssatz.- 2. Gutzmersche Formel und Cauchysche Ungleichungen.- 3. Charakterisierung isolierter Singularitäten.- § 3. Periodische holomorphe Funktionen und Fourierreihen.- 1. Streifengebiete und Kreisringe.- 2. Periodische holomorphe Funktionen in Streifengebieten.- 3. Fourierentwicklung in Streifengebieten.- 4. Beispiele.- 5. Historisches zu Fourierreihen.- §4. Die Thetafunktion.- 1. Konvergenzsatz.- 2. Konstruktion doppelt-periodischer Funktionen.- 3. Die Fourierreihe von $${e^{ - {z^2}\pi \tau }}\vartheta \left( {i\tau z,\tau } \right)$$.- 4. Transformationsformel der Thetafunktion.- 5. Historisches zur Thetafunktion.- 6. über das Fehlerintegral.- 13. Residuenkalkül.- § 1. Residuensatz.- 1. Einfach geschlossene Wege.- 2. Das Residuum.- 3. Beispiele.- 4. Residuensatz.- 5. Historisches zum Residuensatz.- § 2. Folgerungen aus dem Residuensatz.- 1. Das Integral $${1 \over {2\pi i}}\int\limits_\gamma {F\left( \zeta \right){{f'\left( \zeta \right)} \over {f\left( \zeta \right) - a}}d\zeta } $$.- 2. Anzahlformel für Null- und Polstellen.- 3. Satz von ROUCHÈ.- 14. Bestimmte Integrale und Residuenkalkül.- § 1. Berechnung von Integralen.- 0. Uneigentliche Integrale.- 1. Trigonometrische Integrale $$\int\limits_0^{2\pi } {R\left( {\cos \varphi ,\,\sin \varphi } \right)d\varphi } $$.- 2. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)dx} $$.- 3. Das Integral $$
\int\limits_{0}^{\infty } {\frac{{{{x}^{{m - 1}}}}}{{1 + {{x}^{n}}}}dx{\text{ f\& \# x00FC;r m, n}} \in \mathbb{N},{\text{ 0}} < {\text{m}} < {\text{n}}}

$$.- § 2. Weitere Integralauswertungen.- 1. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {g\left( x \right){e^{iax}}dx} $$.- 2. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_0^\infty {q\left( x \right){x^{a - 1}}dx} $$.- 3. Die Integrale $$\int\limits_0^\infty {{{{{\sin }^n}x} \over {{x^n}}}dx} $$.- § 3. Gau×sche Summen.- 1. Abschätzung von $$ \frac{{{{e}^{{uz}}}}}{{{{e}^{z}} - 1}}{\text{ f\& \# x00FC;r 0}} \leqslant {\text{u}} \leqslant {\text{1 - 2}}{\text{.}} $$.- 2. Berechnung der Gau×schen Summen $${G_n}: = \sum\limits_0^{n - 1} {{e^{{{2\pi i} \over n}{v^2}}}} ,n \ge 1$$.- 3. Direkter residuentheoretischer Beweis der Formel $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt = \sqrt \pi } $$.- 4. Fourierreihen der Bernoullischen Polynome.- Photographie von Riemanns Grabplatte.- Literatur.- Klassische Literatur zur Funktionentheorie.- Lehrbuchliteratur zur Funktionentheorie.- Literatur zur Geschichte der Funktionentheorie und der Mathematik.- Symbolverzeichnis.- Namenverzeichnis.- Porträts berühmter Mathematiker 2,.