Remmert Funktionentheorie I

1984
ISBN: 978-3-642-96793-1
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, Band 5, eBook

Reihe: Grundwissen Mathematik

Zielgruppe

Research

Autoren/Hrsg.

Remmert, Reinhold

Inhaltsverzeichnis

Historische Einführung.- Zeittafel.- A. Elemente der Funktionentheorie.- 0. Komplexe Zahlen und stetige Funktionen.- § 1. Der Körper ? der komplexen Zahlen.- 1. Der Körper ?.- 2. ?-lineare und ?-lineare Abbildungen ???.- 3. Skalarprodukt und absoluter Betrag.- 4. Winkeltreue Abbildungen.- § 2. Topologische Grundbegriffe.- 1. Metrische Räume.- 2. Offene und abgeschlossene Mengen.- 3. Konvergente Folgen. Häufungspunkte.- 4. Historisches zum Konvergenzbegriff.- 5. Kompakte Mengen.- §3. Konvergente Folgen komplexer Zahlen.- 1. Rechenregeln.- 2. Cauchysches Konvergenzkriterium. Charakterisierung kompakter Mengen in ?.- § 4. Konvergente und absolut konvergente Reihen.- 1. Konvergente Reihen komplexer Zahlen.- 2. Absolut konvergente Reihen. Majorantenkriterium.- 3. Umordnungssatz.- 4. Historisches zur absoluten Konvergenz.- 5. Bemerkungen zum Riemannschen Umordnungssatz.- 6. Reihenproduktsatz.- § 5. Stetige Funktionen.- 1. Stetigkeitsbegriff.- 2. Die ?-Algebra ?(X).- 3. Historisches zum Funktionsbegriff.- 4. Historisches zum Stetigkeitsbegriff.- § 6. Zusammenhängende Räume. Gebiete in ?.- 1. Lokal-konstante Funktionen. Zusammenhangsbegriff.- 2. Wege und Wegzusammenhang.- 3. Gebiete in ?.- 4. Zusammenhangskomponenten von Bereichen.- 5. Rand und Randabstand.- 1. Komplexe Differentialrechnung.- § 1. Komplex differenzierbare Funktionen.- 1. Komplexe Differenzierbarkeit.- 2. Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.- 3. Historisches zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.- § 2. Komplexe und reelle Differenzierbarkeit.- 1. Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen.- 2. Ein hinreichendes Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit.- 3. Beispiele zu den Cauchy-Riemannsehen Gleichungen.- 4.* Harmonische Funktionen.- § 3. Holomorphe Funktionen.- 1. Differentiationsregeln.- 2. Die ?-Algebra ?(D).- 3. Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen.- 4. Historisches zur Notation.- § 4. Partielle Differentiation nach x, y, z und z?.- 1. Die partiellen Ableitungen fx, fy, fz, fz.- 2. Beziehungen zwischen den Ableitungen ux, uy, ?x, ?y, fx,fy, fz, fz.- 3. Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung $$\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = 0$$.- 4. Kalkül der Differentialoperatoren ? und ?.- 2. Holomorphie und Winkeltreue. Biholomorphe Abbildungen.- § 1. Holomorphe Funktionen und Winkeltreue.- 1. Winkeltreue, Holomorphie und Antiholomorphie.- 2. Winkel- und Orientierungstreue, Holomorphie.- 3. Geometrische Deutung der Winkeltreue.- 4. Zwei Beispiele.- 5. Historisches zur Winkeltreue.- § 2. Biholomorphe Abbildungen.- 1. Komplexe 2×2 Matrizen und biholomorphe Abbildungen.- 2. Die biholomorphe Cayleyabbildung $$IH\tilde \to IE,z \to \frac{{z - i}}{{z + i}}$$.- 3. Bemerkungen zur Cayleyabbildung.- 4.* Bijektive holomorphe Abbildungen von H und von E auf die geschlitzte Ebene.- § 3. Automorphismen der oberen Halbebene und des Einheitskreises.- 1. Automorphismen von H.- 2. Automorphismen von E.- 3. Die Schreibweise $$\eta \frac{{z - w}}{{\bar wz - 1}}$$ Automorphismen von E.- 4. Homogenität von E und H.- 3. Konvergenzbegriffe der Funktionentheorie.- § 1. Gleichmäßige, lokal-gleichmäßige und kompakte Konvergenz.- 1. Gleichmäßige Konvergenz.- 2. Lokal-gleichmäßige Konvergenz.- 3. Kompakte Konvergenz.- 4. Historisches zur gleichmäßigen Konvergenz.- § 2. Konvergenzkriterien.- 1. Cauchysches Konvergenzkriterium.- 2. Weierstraßsches Majorantenkriterium.- § 3. Normal konvergente Reihen.- 1. Normale Konvergenz.- 2. Diskussion der normalen Konvergenz.- 3. Historisches zur normalen Konvergenz.- 4. Potenzreihen.- § 1. Konvergenzkriterien.- 1. Abelsches Konvergenzlemma.- 2. Konvergenzradius.- 3. Formel von Cauchy-Hadamard.- 4. Quotientenkriterium.- 5. Historisches zu konvergenten Potenzreihen.- §2. Beispiele konvergenter Potenzreihen.- 1. Exponentialreihe und trigonometrische Reihen. Eulersche Formel.- 2. Logarithmische Reihe und Arcus tangensreihe.- 3. Binomische Reihe.- 4.* Konvergenzverhalten auf dem Rand.- 5.* Abelscher Stetigkeitssatz.- § 3. Holomorphie von Potenzreihen.- 1. Formale gliedweise Differentiation und Integration.- 2. Holomorphie von Potenzreihen. Vertauschungssatz.- 3. Historisches zur gliedweisen Differentiation von Reihen.- 4. Beispiele holomorpher Funktionen.- § 4. Struktur der Algebra der konvergenten Potenzreihen.- 1. Ordnungsfunktion.- 2. Einheitensatz.- 3. Normalform konvergenter Potenzreihen.- 4. Bestimmung aller Ideale.- 5. Elementar-transzendente Funktionen.- § 1. Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen.- 1. Charakterisierung von exp z durch die Differentialgleichung.- 2. Additionstheorem der Exponentialfunktion.- 3. Bemerkungen zum Additionstheorem.- 4. Additionstheoreme für cos z und sin z.- 5. Historisches zu cos z und sin z.- 6. Hyperbolische Funktionen.- § 2. Epimorphiesatz für exp z und Folgerungen.- 1. Epimorphiesatz.- 2. Die Gleichung Kern(exp) = 2?i?.- 3. Periodizität von exp z.- 4. Wertevorrat, Nullstellen und Periodizität von cos z und sin z.- 5. Cotangens- und Tangensfunktion. Arcustangensreihe.- 6. Die Gleichung $${e^{i\frac{\pi }{2}}} = i$$.- § 3. Polarkoordinaten, Einheitswurzeln und natürliche Grenzen.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Einheits wurzeln.- 3. Singulare Punkte und natürliche Grenzen.- 4. Historisches zu natürlichen Grenzen.- § 4. Logarithmusfunktionen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Existenz von Logarithmusfunktionen.- 3. Die Eulersche Folge $${(1 + \frac{z}{n})^n}$$.- 4. Hauptzweig des Logarithmus.- 5. Historisches zur Logarithmusfunktion im Komplexen.- § 5. Diskussion von Logarithmusfunktionen.- 1. Zu den Identitäten log(wz) = log w + logz und log(exp z) = z.- 2. Logarithmus und Arcustangens.- 3. Potenzfunktionen. Formel von Newton-Abel.- 4. Die Riemannsche ?-Funktion.- B. Cauchysche Funktionentheorie.- 6. Komplexe Integralrechnung.- § 0. Integration in reellen Intervallen.- 1. Integralbegriff. Rechenregeln und Standardabschätzung.- 2. Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- § 1. Wegintegrale in ?.- 1. Stetig und stückweise stetig differenzierbare Wege.- 2. Integration längs Wegen.- 3. Die Integrale $$\int\limits_{\partial B} {{{(\zeta - c)}^n}d\zeta } $$.- 4. Historisches zur Integration im Komplexen.- 5. Unabhängigkeit von der Parametrisierung.- 6. Zusammenhang mit reellen Kurvenintegralen.- § 2. Eigenschaften komplexer Wegintegrale.- 1. Rechenregeln.- 2. Standardabschätzung.- 3. Vertauschungssätze.- 4. Das Integral $$\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial B} {\frac{{d\zeta }}{{\zeta - z}}} $$.- § 3. Wegunabhängigkeit von Integralen. Stammfunktionen.- 1. Stammfunktionen.- 2. Allgemeines Integrabilitätskriterium.- 3. Integrabi-litätskriterium für Sterngebiete.- 7. Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung.- § 1. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.- 1. Integrallemma von Goursat.- 2. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.- 3. Historisches zum Integralsatz.- 4. Historisches zum Integrallemma.- 5.* Reeller Beweis des Integrallemmas.- 6.* Die Fresnelschen Integrale.- § 2. Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.- 1. Verschärfung des Cauchyschen Integralsatzes für Sterngebiete.- 2. Cau-chysche Integralformel für Kreisscheiben.- 3. Historisches zur Integralformel.- 4.* Die Cauchysche Integralformel für reell stetig differenzierbare Funktionen.- 5.* Schwarzsehe Integralformel.- § 3. Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen.- 1. Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor.- 2. Historisches zum Entwicklungssatz.- 3. Riemannscher Fortsetzungssatz.- 4. Cauchysche Integralformeln für Ableitungen.- § 4. Diskussion des Entwicklungssatzes.- 1. Holomorphie und unendlich häufige komplexe Differenzierbarkeit.- 2. Umbildungssatz.- 3. Analytische Fortsetzung.- 4. Produktsatz für Potenzreihen.- 5. Bestimmung von Konvergenzradien.- § 5.* Spezielle Taylorreihen. Bernoullische Zahlen.- 1. Taylorreihe von Z(ez-1)-1. Bernoullische Zahlen.- 2. Taylor reihen von z cot z, tan z und $$\frac{z}{{\sin z}}$$.- 3. Potenzsummen und Bernoullische Zahlen.- 4. Bernoullische Polynome.- C. Cauchy-Weierstraß-Riemannsche Funktionentheorie.- 8. Fundamentalsätze über holomorphe Funktionen.- § 1. Identitätssatz.- 1. Identitätssatz.- 2. Historisches zum Identitätssatz.- 3. Diskretheit und Abzählbarkeit der a-Stellen.- 4. Nullstellenordnung und Vielfachheit.- 5. Existenz singulärer Punkte.- §2. Der Holomorphiebegriff.- 1. Holomorphie, lokale Integrabilität und konvergente Potenzreihen.- 2. Holomorphie, Winkel- und Orientierungstreue (endgültige Fassung).- 3. Cauchyscher, Riemannscher und Weierstraßscher Standpunkt. Das Glaubensbekenntnis von Weierstrass.- § 3. Cauchysche Abschätzungen und Ungleichungen für Taylorkoeffizienten.- 1. Cauchysche Abschätzungen für Ableitungen.- 2. Gutzmersche Formel.- 3. Ganze Funktionen. Satz von Liouville.- 4. Historisches zu den Cauchy-schen Ungleichungen und zum Satz von Liouville.- 5.* Beweis der Cauchy-schen Ungleichungen nach Weierstrass.- §4. Konvergenzsatz von Weierstrass.- 1. Weierstraßscher Konvergenzsatz.- 2. Differentiationssätze für Reihen.- 3. Weierstraßscher Doppelreihensatz.- 4.* Eine Bemerkung Weierstrass’ zur Holomorphie.- 5.* Eine Konstruktion von Weierstrass.- § 5. Offenheitssatz und Maximumprinzip.- 1. Offenheitssatz.- 2. Maximumprinzip.- 3. Historisches zum Maximumprinzip.- 4. Verschärfung des Weierstraßschen Konvergenzsatzes.- 9. Miscellanea.- § 1. Fundamentalsatz der Algebra.- 1. Fundamentalsatz der Algebra.- 2. Vier Beweise des Fundamentalsatzes.- 3. Satz von Gauss über die Lage der Nullstellen von Ableitungen.- § 2. Schwarzsches Lemma und die Gruppen Aut E, Aut H.- 1. Schwarzsches Lemma.- 2. Mittelpunktstreue Automorphismen von E. Die Gruppen Aut E und Aut H.- 3. Fixpunkte von Automorphismen.- 4. Satz von Pick.- 5. Historisches zum Schwarzsehen und zum Pickschen Lemma.- § 3. Holomorphe Logarithmen und holomorphe Wurzeln.- 1. Logarithmische Ableitung. Existenz holomorpher Logarithmusfunktionen.- 2. Holomorphe Wurzelfunktionen.- 3. Die Gleichung $$f {(z) = f(c)\exp \int\limits_\gamma {\frac{{f'(\zeta )}}{{f(\zeta )}}d\zeta } } $$.- § 4. Biholomorphe Abbildungen. Lokale Normalform.- 1. Biholomorphiekriterium.- 2. Lokale Injektivität und lokal-biholomorphe Abbildungen.- 3. Lokale Normalform.- 4. Geometrische Interpretation der lokalen Normalform.- § 5.* Asymptotische Potenzreihenentwicklungen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz asymptotischer Entwicklungen.- 3. Asymptotische Entwicklungen und Differentiation.- 4. Satz von Ritt.- 5. Satz von E. Borel.- 10. Isolierte Singularitäten. Meromorphe Funktionen.- § 1. Isolierte Singularitäten.- 1. Hebbare Singularitäten. Pole.- 2. Entwicklung von Funktionen um Polstellen.- 3. Wesentliche Singularitäten. Satz von Casorati und Weierstrass.- 4. Historisches zur Charakterisierung isolierter Singularitäten.- § 2.* Automorphismen punktierter Bereiche.- 1. Isolierte Singularitäten holomorpher Injektionen.- 2. Die Gruppen Aut ? und Aut ?x.- 3. Automorphismen punktierter beschränkter Bereiche.- 4. Starre Gebiete.- § 3. Meromorphe Funktionen.- 1. Definition der Meromorphie.- 2. Die ?-Algebra ?(D) der in D meromorphen Funktionen.- 3. Division von meromorphen Funktionen.- 4. Weitere Eigenschaften.- 5. Die Ordnungsfunktion oc.- 11. Konvergente Reihen meromorpher Funktionen.- § 1. Allgemeine Konvergenztheorie.- 1. Kompakte und normale Konvergenz.- 2. Rechenregeln.- 3. Beispiele.- § 2. Die Partialbruchentwicklung von ? cot ? z.- 1. Cotangens und Verdopplungsformel. Die Identität ? cot ? z = ?1(z).- 2. Historisches zur Cotangensreihe und zu ihrem Beweis.- 3. Partialbruchreihen für $$\frac{{{\pi^2}}}{{{{\sin }^2}\pi z}}$$ und $$\frac{\pi }{{\sin \pi z}}$$.- 4.* Charakterisierung des Cotangens durch sein Additionstheorem bzw. seine Differentialgleichung.- § 3. Die Eulerschen Formeln für $$\sum\limits_1 {\frac{1}{{{v^{2n}}}}} $$.- 1. Entwicklung von ?1(z) um 0 und Eulersche Formeln für ?(2n).- 2. Historisches zu den Eulerschen ?(2n)-Formeln.- 3. Differentialgleichung für ?1 und eine Identität für Bernoullische Zahlen.- 4. Die Eisensteinreihen $${\varepsilon_k}(z): = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{1}{{{{(z + v)}^k}}}} $$.- §4.* Eisenstein-Theorie trigonometrischer Funktionen.- 1. Additionstheorem.- 2. Eisensteins Grundformeln.- 3. Weitere Eisenstein-sche Formeln und die Identität ?1
(z) = ? cot ?z.- 4. Skizze der Theorie der Kreisfunktionen nach Eisenstein.- 12. Laurentreihen und Fourierreihen.- § 1. Holomorphe Funktionen in Kreisringen und Laurentreihen.- 1. Cauchytheorie für Kreisringe.- 2. Laurentdarstellung in Kreisringen.- 3. Laurententwicklungen.- 4. Beispiele.- 5. Historisches zum Satz von Laurent.- § 2. Eigenschaften von Laurentreihen.- 1. Konvergenzsatz und Identitätssatz.- 2. Gutzmersche Formel und Cauchysche Ungleichungen.- 3. Charakterisierung isolierter Singularitäten.- § 3. Periodische holomorphe Funktionen und Fourierreihen.- 1. Variante des Riemannschen Fortsetzungssatzes.- 2. Streifengebiete und Kreisringe.- 3. Periodische holomorphe Funktionen in Streifengebieten.- 4. Fourierentwicklung in Streifengebieten.- 5. Beispiele.- 6. Historisches zu Fourierreihen.- §4. Die Thetafunktion.- 1. Konvergenzsatz.- 2. Konstruktion doppelt-periodischer Funktionen.- 3. Die Fourierreihe von $${e^{ - {z^2}\pi \tau }}\partial (i\tau z,\tau )$$.- 4. Transformationsformel der Thetafunktion.- 5. Historisches zur Thetafunktion.- 6. Über das Fehlerintegral.- 13. Residuenkalkül.- § 1. Elementare Indextheorie und allgemeine Cauchysche Integralformel.- 1. Die Indexfunktion ind?(z).- 2. Einfach geschlossene Wege.- 3. Cauchysche Integralformel für nullhomologe Wege.- § 2. Residuensatz.- 1. Das Residuum.- 2. Beispiele.- 3. Residuensatz.- 4. Historisches zum Residuensatz.- § 3. Folgerungen aus dem Residuensatz.- 1. Das Integral $$\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\gamma {F(\zeta )\frac{{f'(\zeta )}}{{f(\zeta ) - a}}d\zeta } $$.- 2. Anzahlformel für Null- und Polstellen.- 3. Satz von Rouché.- 4. Satz von Hurwitz.- 5. Historisches zu den Sätzen von Rouché und Hurwitz.- 14. Bestimmte Integrale und Residuenkalkül.- § 1. Berechnung von Integralen.- 0. Uneigentliche Integrale.- 1. Trigonometrische Integrale $$\int\limits_0^{2\pi } {R(\cos \varphi, \sin \varphi )d\varphi } $$.- 2. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)dx} $$.- 3. Das Integral $$\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{m - 1}}}}{{1 + {x^n}}}dx} $$ für m, n ? ?, 0 < m < n.- § 2. Weitere Integralauswertungen.- 1. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {g(x){e^{iax}}dx} $$.- 2. Uneigentliche Integrale $$\int\limits_0^\infty {q(x){x^{a - 1}}dx} $$.- 3. Die Integrale $$\int\limits_0^\infty {\frac{{{{\sin }^n}x}}{{{x^n}}}dx} $$.- § 3. Gaußsche Summen.- 1. Abschätzung von $$\frac{{{e^{uz}}}}{{{e^z} - 1}}$$ für 0 ? u ?1.- 2. Berechnung der Gaußschen Summen $${G_n}: = \sum\limits_0^{n - 1} {{e^{\frac{{2\pi i}}{n}{v^2}}}} $$, n ?1.- 3. Direkter residuentheoretischer Beweis der Formel $$\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt = \sqrt \pi } $$.- 4. Fourierreihen der Bernoullischen Polynome.- Literatur.- Klassische Literatur zur Funktionentheorie.- Lehrbuchliteratur zur Funktionentheorie.- Literatur zur Geschichte der Funktionentheorie und der Mathematik.- Symbolverzeichnis.- Namenverzeichnis.- Porträts berühmter Mathematiker.