Michler / Kowalsky Lineare Algebra

12. überarbeitete Aufl 2008
ISBN: 978-3-11-020004-1
Verlag: De Gruyter
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 431 Seiten

Reihe: De Gruyter Lehrbuch

Die Neuauflage dieses Standardlehrbuchs, das nun vor 40 Jahren erstmals erschien, behandelt den Stoff einer zweisemestrigen Lehrveranstaltung "Lineare Algebra" vorrangig vom algorithmischen Standpunkt aus. Damit wird das Konzept der 11. Auflage beibehalten, in der die Autoren den modernen Entwicklungen in Forschung und Lehre sowie dem weit verbreiteten Einsatz von Computeralgebrasystemen Rechnung getragen haben. Darüber hinaus werden die Anwendungen der Linearen Algebra in der affinen und projektiven Geometrie behandelt und die algebraischen Grundlagen für die Numerik bereitgestellt.

Das Buch wendet sich vorwiegend an Studenten der Mathematik, Physik und Elektrotechnik. Behandelt wird folgender Stoff:

Grundbegriffe · Struktur der Vektorräume · Lineare Abbildungen und Matrizen · Gauß-Algorithmus und Gleichungssysteme · Determinanten · Eigenwerte, Eigenvektoren und Jordan-Form · Euklidische und unitäre Vektorräume · Anwendungen in der Geometrie · Ringe und Moduln · Multilineare Algebra · Moduln über Hauptidealringen · Rationale kanonische Normalform einer Matrix · Computeralgebrasysteme · Lösungen der etwa 150 Aufgaben

Autoren/Hrsg.

Michler, Gerhard

Kowalsky, H.-J.

Fachgebiete

• Mathematik | Informatik Mathematik Algebra Lineare und multilineare Algebra, Matrizentheorie

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
2 Struktur der Vektorräume
3 Lineare Abbildungen und Matrizen
4 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
5 Determinanten
6 Eigenwerte und Eigenvektoren
7 Euklidische und unitäre Vektorräume
8 Anwendungen in der Geometrie
9 Ringe und Moduln
10 Multilineare Algebra
11 Moduln über Hauptidealringen
12 Normalformen einer Matrix
Backmatter

Leseproben

2 Struktur der Vektorräume (S. 23-24)

In diesem Kapitel werden zunächst Begriffsbildungen behandelt, die sich unmittelbar aus der Definition des Vektorraums ableiten lassen und sich auf nur einen Vektorraum beziehen. Im Mittelpunkt dieser Betrachtungen steht der Begriff der Basis eines Vektorraums und der mit ihm eng zusammenhängende Begriff der linearen Unabhängigkeit vonVektoren. Mit diesen Hilfsmitteln ist es dann auch möglich, die Dimension eines Vektorraums zu definieren. Hierbei ergibt sich eine Aufteilung der Vektorräume in endlich-dimensionale und solche unendlicher Dimension. In den ersten beiden Abschnitten werden die grundlegenden Begriffe und Beweismethoden für endlich erzeugte Unterräume U eines beliebigen F-Vektorraums V behandelt. Es wird gezeigt, daß U eine Basis aus endlich vielen Vektoren besitzt und daß alle Basen von U aus gleich vielen Vektoren bestehen. Diese allen Basen gemeinsame Anzahl wird die Dimension von U genannt. Die Beweise für diese Ergebnisse sind konstruktiv und elementar. Die Theorie der endlich-dimensionalen Vektorräume V ergibt sich als Spezialfall.

Wesentlich für das konkrete Rechnen mit Vektoren ist schließlich, daß man in endlich-dimensionalen Vektorräumen hinsichtlich einer Basis jeden Vektor durch endlich viele Skalare, seine Koordinaten, beschreiben kann. Der Koordinatenbegriff gestattet es, das Rechnen mitVektoren auf das Rechnen im Skalarenkörper zurückzuführen. Daraus ergibt sich, daß die algebraische Struktur eines endlich-dimensionalen Vektorraums V über einem Körper F im wesentlichen durch die Dimension von V bestimmt ist.

Im dritten Abschnitt werden direkte Summen von Unterräumen eines beliebigen F-Vektorraumes V behandelt. Mit Hilfe des Zornschen Lemmas wird gezeigt, daß sich jeder Vektorraum V in eine direkte Summe von eindimensionalen Unterräumen zerlegen läßt. Dieser Struktursatz ist ein grundlegendes Ergebnis für unendlichdimensionaleVektorräume. Er besagt nicht nur, daß jederF-VektorraumV eine Basis B besitzt, sondern auch, daß alle Rechnungen mit jeweils endlich vielen Vektoren aus V in einem endlich-dimensionalen Unterraum U von V stattfinden, der eine endliche Teilmenge B' von B zur Basis hat. Daher wird auch im unendlichen Fall das Rechnen mitVektoren auf die Addition und Multiplikation im Skalarenkörper F zurückgeführt.

2.1 Unterräume

In diesem Abschnitt werden nicht-leere Teilmengen U eines Vektorraums V über einem kommutativen Körper F untersucht, die gegenüber den linearen Operationen abgeschlossen sind und selbst einen Vektorraum bilden. Solche Teilmengen sind Unterräume von V im Sinne der folgenden Definition.

Über Autor(innen)

Hans-Joachim Kowalsky ist emeritierter Professor am Institut für Analysis und Algebra der Universität Braunschweig. Gerhard Michler ist emeritierter Professor am Institut für Experimentelle Mathematik der Universität Essen.