Laures / Szymik Grundkurs Topologie

2009
ISBN: 978-3-8274-2218-7
Verlag: Spektrum Akademischer Verlag
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 242 Seiten, eBook

Die Topologie beschäftigt sich mit den qualitativen Eigenschaften geometrischer Objekte. Ihr Begriffsapparat ist so mächtig, dass kaum eine mathematische Struktur nicht mit Gewinn topologisiert wurde.Dieses Buch versteht sich als Brücke von den einführenden Vorlesungen der Analysis und Linearen Algebra zu den fortgeschrittenen Vorlesungen der Algebraischen und Geometrischen Topologie. Es eignet sich besonders für Studierende in einem Bachelor- oder Masterstudiengang der Mathematik, kann aber auch zum Selbststudium für mathematisch interessierte Naturwissenschaftler dienen.Die Autoren legen besonderen Wert auf eine moderne Sprache, welche die vorgestellten Ideen vereinheitlicht und damit erleichtert. Definitionen werden stets mit vielen Beispielen unterlegt und neue Konzepte werden mit zahlreichen Bildern illustriert. Über 170 Übungsaufgaben (mit Lösungen zu ausgewählten Aufgaben auf der Website zum Buch) helfen, die vermittelten Inhalte einzuüben und zu vertiefen. Viele Abschnitte werden ergänzt durch kurze Einblicke in weiterführende Themen, die einen Ausgangspunkt für Studienarbeiten oder Seminarthemen bieten.Neben dem üblichen Stoff zur mengentheoretischen Topologie, der Theorie der Fundamentalgruppen und der Überlagerungen werden auch Bündel, Garben und simpliziale Methoden angesprochen, welche heute zu den Grundbegriffen der Geometrie und Topologie gehören.

Zielgruppe

Upper undergraduate

Autoren/Hrsg.

Laures, Gerd

Szymik, Markus

Inhaltsverzeichnis

1 Grundbegriffe der Topologie
1.1 Metrische Räume
1.2 Topologische Räume
1.3 Abgeschlossene Teilmengen
1.4 Die Kategoriensprache

2 Universelle Konstruktionen
2.1 Teilräume
2.2 Produkte
2.3 Summen
2.4 Identifizierungen und Quotienten

3 Zusammenhang und Trennung
3.1 Zusammenhang
3.2 Trennung und stetige Fortsetzbarkeit

4 Kompaktheit und Abbildungsräume
4.1 Kompaktheit
4.2 Eigentliche Abbildungen
4.3 Der Satz von Tychonoff

4.4 Abbildungsräume
4.5 Lokal kompakt erzeugte Räume

5 Transformationsgruppen
5.1 Grundbegriffe der äquivarianten Topologie
5.2 Homogene Räume
5.3 Eigentliche Operationen

6 Wege und Schleifen
6.1 Wegeräume und Schleifenräume
6.2 Der Wegekomponentenfunktor
6.3 Der Homotopiebegriff
6.4 Selbstabbildungen des Kreises

7 Die Fundamentalgruppe
7.1 Das Fundamentalgruppoid
7.2 Der Satz von Seifert und van Kampen
7.3 Flächen

8 Überlagerungen
8.1 Die Kategorie der Überlagerungen
8.2 Der Hochhebungssatz
8.3 Fasertransport
8.4 Der Klassifikationssatz
8.5 Topologische Galois-Theorie

9 Bündel und Faserungen
9.1 Faserbündel
9.2 Prinzipalbündel
9.3 Prinzipalbündel mit diskreter Strukturgruppe
9.4 Vektorraumbündel
9.5 Faserungen

10 Garben
10.1 Prägarben und Garben
10.2 Halme und Etalräume
10.3 Garbifizierung und Pullbacks

11 Simpliziale Mengen
11.1 Simpliziale Objekte und Morphismen
11.2 Singuläre Simplizes und Realisierungen
11.3Ausblicke

Literaturverzeichnis

Index

Über Autor(innen)

Prof. Dr. Gerd Laures ist Inhaber des Lehrstuhls Topologie an der Universität Bochum. Er ist mitverantwortlich für die Ausbildung der Studierenden in Bachelor- und Masterstudiengängen sowie für die Doktorandenausbildung. Zuvor war er an den Universitäten Bonn, Heidelberg, Mainz und am M.I.T. in Boston (USA) tätig.Dr. Markus Szymik hat Mathematik und Philosophie in Göttingen und Bielefeld studiert und ist zurzeit Wissenschaftlicher Assistent am Lehrstuhl Topologie in Bochum.