Grundlagen kontinuierlicher Symmetrien

Von der Raumzeit zur Quantenmechanik
1. Auflage 2023
ISBN: 978-3-527-41415-4
Verlag: Wiley-VCH GmbH

Buch, Deutsch, 538 Seiten, Format (B × H): 177 mm x 251 mm, Gewicht: 1217 g

Das neue Buch von Franck Laloë stellt einen symmetriebasierten Ansatz vor, um die Quantenmechanik auf einer fundamentalen Ebene zu verstehen, und liefert die dazugehörigen Rechentechniken, um fortgeschrittene Kurse über Kernphysik, Quantenoptik und Festkörperphysik zu meistern.

Autoren/Hrsg.

Laloe, Franck

Weitere Mitwirkende

Henkel, Carsten

Fachgebiete

• Naturwissenschaften Chemie Chemie Allgemein Chemometrik, Chemoinformatik
• Naturwissenschaften Physik Physik Allgemein Theoretische Physik, Mathematische Physik, Computerphysik
• Mathematik | Informatik Mathematik Numerik und Wissenschaftliches Rechnen

Inhaltsverzeichnis

I Symmetrietransformationen
 
A Grundlegende Symmetrien
1 Definition
2 Beispiele
3 Aktive und passive Perspektive
B Symmetrien in der klassischen Mechanik
1 Newtonsche Mechanik
2 Lagrange-Mechanik
3 Hamilton-Mechanik
C Symmetrien in der Quantenmechanik
1 Kanonische Quantisierung
2 Symmetrieoperationen
3 Allgemeine Folgerungen
 
A_I Statistische Mechanik im Phasenraum
1 Euler-Darstellung
2 Lagrange-Darstellung
 
B_I Satz von Noether in der Feldtheorie
1 Euler-Lagrange-Formalismus für Felder
2 Symmetrietransformation und erhaltener Strom
3 Verallgemeinerte Formulierung in der Raumzeit
4 Lokale Energieerhaltung
 
II Grundbegriffe der Gruppentheorie
 
A Eigenschaften von Gruppen
1 Definition
2 Beispiele
3 Strukturen in Gruppen
4 Direktes Produkt
B Darstellungen einer Gruppe
1 Definition und Eigenschaften
2 Äquivalente Darstellungen
3 Charaktere
4 Summe und Produkt von Darstellungen
5 Reduzible und irreduzible Darstellungen
 
A_II Zerlegungen von Gruppen
1 Nebenklassen
2 Faktor- oder Quotientengruppe
 
III Einführung in Lie-Gruppen
 
A Allgemeine Eigenschaften
1 Kontinuierliche (topologische) Gruppen
2 Lie-Gruppen und Lie-Algebren
3 Kompakte Gruppen und ihre Darstellungen
B Beispiele
1 Drehungen in einer Ebene: SO(2)
2 Galilei-Transformationen im eindimensionalen Raum
3 Die Gruppe SU(2)
4 Drehungen in drei Dimensionen ? Die Gruppe SO(3)
C Galilei- und Poincaré-Gruppe
1 Galilei-Transformationen
2 Poincaré-Gruppe
 
A_III Adjungierte Darstellung und Casimir-Operator
1 Adjungierte Darstellung einer Lie-Algebra
2 Ein Skalarprodukt auf L: die Killing-Form
3 Vollständig antisymmetrisierte Strukturkonstanten
4 Konstruktion des Casimir-Operators
 
IV Darstellungen von Gruppen in der Quantenmechanik
 
A Physikalische Eigenschaften einer Transformation
B Der Satz von Wigner
C Transformation von Observablen
1 Konstruktion
2 Physikalische Bedeutung
D Unitäre Darstellungen auf einem Zustandsraum
1 Wirkung einer Transformationsgruppe
2 Infinitesimale Transformationen und Vertauschungsrelationen
E Phasenfaktoren und projektive Darstellungen
1 Lokale Eigenschaften
2 Darstellungen endlicher Dimension
 
A_IV Projektive Darstellungen von Lie-Gruppen ? Satz von Bargmann
1 Einfach zusammenhängende Gruppe
2 p-fach zusammenhängende Gruppe
 
B_IV Der Satz von Uhlhorn-Wigner
1 Reeller Vektorraum
2 Komplexer Vektorraum
 
V Erzeugende Operatoren der Galilei- und Poincaré-Gruppe
 
A Darstellungen im Zustandsraum
B Galilei-Gruppe
1 Allgemeine Eigenschaften
2 Elimination der ß_ab
3 Erhaltungsgrößen: Masse, innere Energie, Spin
C Lorentz-Poincaré-Gruppe
1 Eliminieren der diagonalen Operatoren
2 Invariante Observablen: Masse, Energie, Spin
3 Masselose Teilchen
4 Endliche Transformationen
 
A_V Die eigentliche Lorentz-Gruppe
1 Beziehung zur Gruppe SL(2,C)
2 Kleine Gruppe eines Vierervektors
 
B_V Die Spinoperatoren S und W
1 Spinoperator S
2 Der Pauli-Lubanski-Vektor
3 Spinquadrat in einem Unterraum mit beliebigem Viererimpuls
 
C_V Die Bewegungs- oder Euklidische Gruppe
1 Wiederholung der klassischen Eigenschaften
2 Operatoren auf dem Zustandsraum
 
D_V Raumspiegelung (Parität)
1 Wirkung im Ortsraum
2 Operator auf dem Zustandsraum
3 Erhaltung und Verletzung der Parität
 
VI Zustandsräume und Wellengleichungen
 
A Galilei-Gruppe und Schrödinger-Gleichung
1 Das kräftefreie Teilchen ohne Spin
2 Teilchen im elektromagnetischen Feld
B Relativistische Wellengleichungen
1 Klein-Gordon-Gleichung
2 Dirac-Gleichung
3 Weyl-Gleichung
 
A_VI Relativistische Invarianz der Dirac-Gleichung und nichtrelativistischer Grenzfall
1 Lorentz-Transformation der Dirac-Spinoren
2 Nichtrelativistischer Grenzfall
 
B_VI Endliche Lorentz-Transformationen und Dirac-Zustandsraum
1 Geometrische Bewegungen
2 Lorentz-Transformationen
3 Zustandsraum und Observablen für die Dirac-Gleichung
 
C_VI Lagrange-Funktionen und Erhaltungsgrößen
1 Notation und komplexe Felder
2 Schrödinger-Gleichung
3 Klein-Gordon-Gleichung
4 Dirac-Gleichung
5 Das Standardmodell der Elementarteilchen
 
VII Drehimpulse, Drehgruppe, Spinoren
 
A Elementare Theorie des Drehimpulses
1 Wiederholung: Leiteroperatoren und Quantenzahlen
2 Die Standardbasis
3 Konstruktion der Drehmatrizen
B Transformation von Vektoren und Spinoren
1 Spin j = 1 und reelle Drehungen
2 Spinoren und ihre Wellenfunktionen
C Irreduzible unitäre Darstellungen
1 Zerlegung in irreduzible Bausteine
2 Die Standarddarstellungen sind irreduzibel
3 Zweiwertige und projektive Darstellungen
D Addition von Drehimpulsen
1 Aufgabenstellung
2 Zerlegung einer Produktdarstellung

A_VII Die SU(2) überlagert die Drehgruppe homomorph
1 Wirkung der SU(2) auf reelle Vektoren
2 Die Transformation ist eine Drehung
3 Homomorphismus zwischen SO(3) und SU(2)
4 Bezug zum Kapitel VII
 
B_VII Kopplung von drei Drehimpulsen
1 Unterräume mit Gesamtdrehimpuls Null
2 3j-Symbole
3 6j-Symbole
 
VIII Transformation von Observablen unter Drehungen
 
A Vektorielle Operatoren
1 Vertauschungsrelationen
2 Physikalische Bedeutung
3 Transformation eines Vektoroperators
4 Komponenten in der Standard-Basis
B Tensoroperatoren
1 Motivation
2 Transformation unter Drehungen
3 Sphärische Komponenten
4 Irreduzible Tensoroperatoren
5 Eigenschaften
C Der Satz von Wigner-Eckart
1 Lemma
2 Formulierung des Satzes und Beweis
D Anwendungen
1 Skalare Operatoren
2 Vektorielle Operatoren
3 Rang-2-Tensoroperatoren
 
A_VIII Elementare Eigenschaften von Tensoren
1 Vektoren
2 Tensoren
3 Produkt und Kontraktion
4 Symmetrische und antisymmetrische Tensoren
5 Zerlegung in irreduzible Tensoren
 
B_VIII Irreduzible Zerlegung von Tensoren zweiter Ordnung
1 Tensorprodukt von zwei Vektoroperatoren
2 Irreduzible Komponenten in der Cartesischen Basis
 
C_VIII Multipolmomente
1 Elektrische Multipole
2 Magnetische Multipole
3 Multipolmomente von Systemen mit Drehimpuls J
 
D_VIII Zerlegung einer Dichtematrix in irreduzible Tensoren
1 Liouville-Raum
2 Transformation unter Drehungen
3 Eine Basis irreduzibler Operatoren
4 Drehsymmetrie und Zeitentwicklung
 
IX Interne Symmetrien
 
A Systeme von Teilchen mit interner Symmetrie
1 Grundbegriffe
2 Unterscheidbare Teilchen
3 Identische (ununterscheidbare) Teilchen
4 Interne Zustände und Quantenzahlen
B Die Isospin-Symmetrie
1 Lie-Algebra
2 Spin und Isospin
3 Isospin-Multipletts
4 Beispiele
C Flavour-Symmetrie und die Gruppe SU(3)
1 Erzeugende Operatoren
2 Darstellungen der SU(3)
3 Konstruktion der irreduziblen Darstellungen
4 Anwendungen in der Elementarteilchenphysik
 
A_IX Symmetrisieren von gleichwertigen Teilchen
1 Fermionen
2 Bosonen
3 Vollständig (anti)symmetrisierte Zustände
4 Äquivalenz zwischen zwei Vielteilchensystemen
 
X Gebrochene Symmetrie
 
A Ferromagnetismus
1 Thermisches Gleichgewicht
2 Spontane Symmetriebrechung
B Weitere Beispiele
1 Kristallisation
2 Bose-Einstein-Kondensation
3 Higgs-Mechanismus in der Quantenfeldtheorie
 
Anhang Zeitumkehr
 
A In der klassischen Mechanik
B Antilineare Operatoren
1 Allgemeine Eigenschaften
2 Antiunitäre Operatoren
C Quantenmechanischer Zeitumkehroperator
1 Notwendigkeit eines antilinearen Operators
2 Zeitumkehr als Symmetrietransformation
D Explizite Konstruktion von Operatoren für Zeitumkehr
1 Spinloses Teilchen
2 Spin-1/2-Teilchen
3 Teilchen mit beliebigem Spin
4 Systeme von Teilchen
E Anwendungen
1 Mikroreversible Systeme
2 Satz von Kramers
3 Gerade und ungerade Observablen unter Zeitumkehr
4 Satz von van Vleck

Über Autor(innen)

Franck Laloë ist Wissenschaftler am Kastler-Brossel-Labor der Ecole Normale Supérieure in Paris. Er war zunächst an der Universität Paris VI tätig, bevor er an das CNRS, das französische Nationale Forschungszentrum, berufen wurde. Seine Forschungsschwerpunkte sind optisches Pumpen, statistische Mechanik von Quantengasen, musikalische Akustik und die Grundlagen der Quantenmechanik.