Kühnel Differentialgeometrie

Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten
5. Auflage 2010
ISBN: 978-3-8348-9655-1
Verlag: Vieweg & Teubner
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 288 Seiten, eBook

Reihe: Aufbaukurs Mathematik

Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie. Zunächst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel 'Die innere Geometrie von Flächen'. Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über 'Einstein-Räume', die eine große Bedeutung sowohl in der 'Reinen Mathematik' als auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird.

Im Laufe der Neuauflagen wurde der Text erweitert, neue Aufgaben wurden hinzugefügt und am Ende des Buches wurden zusätzliche Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Der Text wurde für die fünfte Auflage gründlich durchgesehen und an einigen Stellen verbessert.

Wolfgang Kühnel ist Professor am Mathematischen Institut der Universität Stuttgart.

Zielgruppe

Upper undergraduate

Autoren/Hrsg.

Kühnel, Wolfgang

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort;5
2;Inhaltsverzeichnis;7
3;Kapitel 1Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der Analysis;9
4;Kapitel 2 Kurven im IRn;13
4.1;2A Frenet–Kurven im IRn;13
4.2;2B Ebene Kurven und Raumkurven;18
4.3;2C Bedingungen an Krümmung und Torsion ;22
4.4;2D Die Frenet–Gleichungen und der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie;26
4.5;2E Kurven im Minkowski–Raum IR3;31
4.6;2F Globale Kurventheorie;33
5;Kapitel 3 Lokale Flächentheorie ;45
5.1;3A Flächenstücke, erste Fundamentalform ;45
5.2;3B Die Gauß–Abbildung und Krümmungen von Flächen ;52
5.3;3C Drehflächen und Regelflächen;60
5.4;3D Minimalflächen ;74
5.5;3E Flächen im Minkowski–Raum IR3 ;86
5.6;3F Hyperflächen im IRn+1 ;93
6;Kapitel 4 Die innere Geometrie von Flächen ;101
6.1;4A Die kovariante Ableitung;102
6.2;4B Parallelverschiebung und Geodätische ;106
6.3;4C Die Gauß–Gleichung und das Theorema Egregium;110
6.4;4D Der Hauptsatz der lokalen Flächentheorie ;115
6.5;4E Die Gauß–Krümmung in speziellen Parametern ;118
6.6;4F Der Satz von Gauß–Bonnet;124
6.7;4G Ausgewählte Kapitel der globalen Flächentheorie ;134
7;Kapitel 5RiemannscheMannigfaltigkeiten;147
7.1;5A Der Mannigfaltigkeits-Begriff ;148
7.2;5B Der Tangentialraum;152
7.3;5C Riemannsche Metriken;157
7.4;5D Der Riemannsche Zusammenhang;161
8;Kapitel 6 Der Krümmungstensor ;173
8.1;6A Tensoren;173
8.2;6B Die Schnittkrümmung ;179
8.3;6C Der Ricci–Tensor und der Einstein–Tensor;184
9;Kapitel 7 Räume konstanter Krümmung ;195
9.1;7A Der hyperbolische Raum;195
9.2;7B Geodätische und Jacobi–Felder ;202
9.3;7C Das Raumformen–Problem;213
9.4;7D Dreidimensionale euklidische und sphärische Raumformen ;217
10;Kapitel 8 Einstein–Räume ;227
10.1;8A Die Variation des Hilbert–Einstein–Funktionals;229
10.2;8B Die Einsteinschen Feldgleichungen;235
10.3;8C Homogene Einstein–Räume ;239
10.4;8D Die Zerlegung des Krümmungstensors ;242
10.5;8E Die Konformkrümmung ;250
10.6;8F Dualität für 4-Mannigfaltigkeiten, Petrov–Typen ;256
11;Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben ;264
12;Lehrbücher zurDifferentialgeometrie ;282
13;Lehrbücher zur Riemannschen Geometrie ;282
14;Andere Lehrbuch-Literatur;282
15;Verzeichnis mathematischer Symbole;283
16;Index;284

Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der Analysis.- Kurven im Rn.- Lokale Flächentheorie.- Die innere Geometrie von Flächen.- Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- Der Krümmungstensor.- Räume konstanter Krümmung.- Einstein–Räume.

Über Autor(innen)

Wolfgang Kühnel ist Professor am Mathematischen Institut der Universität Stuttgart.