Karpfinger / Meyberg Algebra

Gruppen - Ringe - Körper
2009
ISBN: 978-3-8274-2194-4
Verlag: Spektrum Akademischer Verlag
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 360 Seiten, eBook

Reihe: Life Science and Basic Disciplines (German Language)

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Zahlreiche Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade (mit Lösungsvorschlägen auf der Website) überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis.

Zielgruppe

Upper undergraduate

Autoren/Hrsg.

Karpfinger, Christian

Meyberg, Kurt

Inhaltsverzeichnis

0 Vorbemerkungen.- 0.1 Womit befasst sich die Algebra?- 0.2 Gruppen, Ringe, Körper.- 1 Halbgruppen.- 1.1 Definitionen. 1.2 Unterhalbgruppen. 1.3 Invertierbare Elemente. 1.4 Potenzen und Vielfache. 1.5 Homomorphismen, Isomorphismen. 1.6 Direkte Produkte.- 2 Gruppen.- 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen. 2.2 Untergruppen. 2.3 Homomorphismen.- 3 Untergruppen.- 3.1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen. 3.2 Nebenklassen. 3.3 Der Satz von Lagrange.- 4 Normalteiler und Faktorgruppen.- 4.1 Normalteiler. 4.2 Normalisatoren. 4.3 Faktorgruppen. 4.4 Der Homomorphiesatz. 4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe.- 5 Zyklische Gruppen.- 5.1 Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen. 5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen. 5.3 Anwendungen in der Zahlentheorie. 5.4 Die Automorphismengruppen.- 6 Direkte Produkte.- 6.1 Äußere direkte Produkte. 6.2 Innere direkte Produkte. 6.3 Anwendung in der Zahlentheorie.- 7 Gruppenoperationen.- 7.1 Bahnen und Stabilisatoren von Gruppenoperationen. 7.2 Der Fixpunktsatz. 7.3 Die Klassengleichung.- 8 Die Sätze von Sylow.- 8.1 Der erste Satz von Sylow. 8.2 Der zweite Satz von Sylow. 8.3 Gruppen kleiner Ordnung.- 9 Symmetrische und alternierende Gruppen.- 9.1 Kanonische Zerlegung in Zyklen. 9.2 Alternierende Gruppen. 9.3 Einfache Gruppen.- 10 Isomorphiesätze.- 10.1 Der erste Isomorphiesatz. 10.2 Der Korrespondenzsatz. 10.3 Der zweite Isomorphiesatz. 10.4 Das Lemma von Zassenhaus.- 11 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.- 11.1 Der Hauptsatz. 11.2 Die Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen. 11.3 Die zweite Version des Hauptsatzes.- 12 Auflösbare Gruppen.- 12.1 Normalreihen und Kompositionsreihen. 12.2 Kommutatorgruppen. 12.3 Auflösbare Gruppen. 12.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen. 12.5 Klassen auflösbarer Gruppen.- 13 Grundbegriffe der Ringtheorie.- 13.1 Definition und Beispiele. 13.2 Teilringe. 13.3 Invertierbare Elemente. 13.4 Homomorphismen. 13.5Integritätsbereiche. 13.6 Charakteristik eines Ringes mit 1. 13.7 Körper und Schiefkörper. 13.8 Quotientenkörper.- 14 Polynomringe.- 14.1 Motivation. 14.2 Halbgruppenringe. 14.3 Polynome in einer Unbestimmten. 14.4 Prime Restklassengruppen. 14.5 Polynome in mehreren Unbestimmten.- 15 Ideale.- 15.1 Definitionen und Beispiele. 15.2 Erzeugung von Idealen. 15.3 Einfache Ringe. 15.4 Idealoperationen. 15.5 Faktorringe. 15.6 Isomorphiesätze. 15.7 Primideale. 15.8 Maximale Ideale. 15.9 Chinesischer Restsatz.- 16 Teilbarkeit in Integritätsringen .- 16.1 Teilbarkeit. 16.2 Idealtheoretische Interpretation.- 17 Faktorielle Ringe.- 17.1 Kennzeichnungen faktorieller Ringe. 17.2 Der nicht-faktorielle Ring Z[-5].- 18 Hauptidealringe. Euklidische Ringe.- 18.1 Hauptidealringe. 18.2 Euklidische Ringe. 18.3 Der Ring Z[i] der ganzen Gauß’schen Zahlen.- 19 Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe.- 19.1 Der Satz von Gauß. 19.2 Unzerlegbarkeit. 19.3 Noethersche Ringe.- 20 Grundlagen der Körpertheorie.- 20.1 Körpererweiterungen. 20.2 Ring- und Körperadjunktion. 20.3 Algebraische Elemente. Minimalpolynome.- 21 Einfache Körpererweiterungen.- 21.1 Die Struktur einfacher Körpererweiterungen. 21.2 Fortsetzung von Isomorphismen.- 22 Algebraische Körpererweiterungen.- 22.1 Eigenschaften algebraischer Körpererweiterungen. 22.2 Mächtigkeitsaussagen.- 23 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 23.1 Konstruierbarkeit. 23.2 Die drei klassischen Probleme.- 24 Transzendente Körpererweiterungen.- 24.1 Transzendenzbasen. 24.2 Der Transzendenzgrad.- 25 Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper.- 25.1 Der algebraische Abschluss eines Körpers. 25.2 Zerfällungskörper. 25.3 Normale Erweiterungen.- 26 Separable Körpererweiterungen.- 26.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln. 26.2 Separabilität. 26.3 Vollkommene Körper. 26.4 Der Satz vom primitiven Element. 26.5 Separable Hüllen.- 27 Endliche Körper.- 27.1 Existenz und Eindeutigkeit. 27.2 Der Verband der Teilkörper. 27.3

Über Autor(innen)

PD Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

Prof. Dr. Kurt Meyberg war Professor an der Technischen Universität München und ist als Autor verschiedener Lehrbücher bekannt.