E-Book, Deutsch, 302 Seiten
Havil GAMMA
2. Auflage 2007
ISBN: 978-3-540-48496-7
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark
Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung
E-Book, Deutsch, 302 Seiten
ISBN: 978-3-540-48496-7
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark
Jeder kennt p = 3,14159..., viele kennen e = 2,71828..., einige i. Und dann? Die 'viertwichtigste' Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156... - benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Bis heute ist unbekannt, ob g eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet die 'obskure' Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer und Jeeps in der Wüste. Besser kann man nicht über Mathematik schreiben. Was Julian Havil dazu zu sagen hat, ist spektakulär.
Prof. Julian Havil, University of Winchester, United Kingdom
Weitere Infos & Material
1;Vorwort;8
2;Vorwort des Übersetzers;10
3;Danksagungen;11
4;Inhaltsverzeichnis;13
5;Einleitung;17
6;1 Die logarithmische Wiege;23
6.1;1.1 Ein mathematischer Albtraum – und ein Erwachen;23
6.2;1.2 Des Barons wunderbarer Kanon;26
6.3;1.3 Ein Hauch Kepler;36
6.4;1.4 Ein Hauch Euler;38
6.5;1.5 Weitere Ideen Napiers;42
7;2 Die harmonische Reihe;46
7.1;2.1 Das Prinzip;46
7.2;2.2 Eine erzeugende Funktion für Hn;47
7.3;2.3 Drei überraschende Ergebnisse;48
8;3 Subharmonische Reihen;52
8.1;3.1 Ein gemächlicher Start;52
8.2;3.2 Harmonische Primzahlreihen;53
8.3;3.3 Die Kempnerreihe;57
8.4;3.4 Die Madelungschen Konstanten;59
9;4 Zeta-Funktionen;63
9.1;4.1 Mit einer positiven ganzen Zahl n ;63
9.2;4.2 Mit einer reellen Zahl x;69
9.3;4.3 Zwei abschließende Resultate;70
10;5 Der Geburtsort von Gamma;72
10.1;5.1 Ankunft;72
10.2;5.2 Niederkunft;75
11;6 Die Gamma-Funktion;78
11.1;6.1 Exotische Definitionen . . .;78
11.2;6.2 . . . weitere sinnvolle Definitionen;82
11.3;6.3 Gamma trifft Gamma;82
11.4;6.4 Komplement und Schönheit;84
12;7 Eulers wunderbare Identität;86
12.1;7.1 Die Formel, auf die es ankommt . . .;86
12.2;7.2 . . . und ein Hinweis auf ihre Nützlichkeit;87
13;8 Ein erfülltes Versprechen;91
14;9 Was ist Gamma . . . exakt?;95
14.1;9.1 Gamma existiert;95
14.2;9.2 Gamma ist . . . was für eine Zahl?;99
14.3;9.3 Eine überraschend gute Verbesserung;101
14.4;9.4 Der Ursprung einer großen Idee;105
15;10 Gamma als Dezimalbruch;106
15.1;10.1 Die Bernoullischen Zahlen;106
15.2;10.2 Die Euler–Maclaurinsche Summenformel;111
15.3;10.3 Zwei Beispiele;112
15.4;10.4 Die Implikationen für Gamma;114
16;11 Gamma als rationaler Bruch;117
16.1;11.1 Ein Rätsel;117
16.2;11.2 Ein Problem;117
16.3;11.3 Eine Antwort;119
16.4;11.4 Drei Ergebnisse;121
16.5;11.5 Irrationale Zahlen;122
16.6;11.6 Lösungen der Pellschen Gleichung;124
16.7;11.7 Lückenfüller;125
16.8;11.8 Die harmonische Alternative;126
17;12 Wo ist Gamma?;129
17.1;12.1 Nochmals zur alternierenden harmonischen Reihe;129
17.2;12.2 In der Analysis;133
17.3;12.3 In der Zahlentheorie;140
17.4;12.4 Bei Vermutungen;145
17.5;12.5 Bei Verallgemeinerungen;146
18;13 Die Welt ist harmonisch;149
18.1;13.1 Mittelwerte;149
18.2;13.2 Geometrische Harmonie;152
18.3;13.3 Musikalische Harmonie;153
18.4;13.4 Rekorde und Aufzeichnungen;156
18.5;13.5 Zerstörungsprüfungen;157
18.6;13.6 Durchqueren der Wüste;158
18.7;13.7 Kartenmischen;159
18.8;13.8 Quicksort;160
18.9;13.9 Sammeln einer vollständigen Menge;162
18.10;13.10 Eine Putnam-Preis-Frage;164
18.11;13.11 Maximal möglicher Überhang;165
18.12;13.12 Wurm auf einem Band;166
18.13;13.13 Optimale Auswahl;166
19;14 Die Welt ist logarithmisch;172
19.1;14.1 Ein Maß für die Unsicherheit;172
19.2;14.2 Das Benfordsche Gesetz;179
19.3;14.3 Kettenbruchverhalten;190
20;15 Probleme mit Primzahlen;198
20.1;15.1 Einige schwierige Fragen zu Primzahlen;198
20.2;15.2 Ein bescheidener Start;199
20.3;15.3 Eine Art Antwort;203
20.4;15.4 Veranschauliche das Problem!;205
20.5;15.5 Das Sieb des Eratosthenes;207
20.6;15.6 Heuristik;209
20.7;15.7 Ein Brief;211
20.8;15.8 Die harmonische Approximation;215
20.9;15.9 Verschieden – und doch gleich;218
20.10;15.10 Es sind wirklich nur zwei Fragen und nicht drei;219
20.11;15.11 Tschebyschew ist mit guten Einfällen zur Stelle;220
20.12;15.12 Riemann tritt ein, Beweise folgen;224
21;16 Die Riemannsche Initiative;227
21.1;16.1 Zählen der Primzahlen mit Riemann;227
21.2;16.2 Ein neues mathematisches Werkzeug;229
21.3;16.3 Analytische Fortsetzung;230
21.4;16.4 Riemanns Verallgemeinerung der Zeta-Funktion;231
21.5;16.5 Eine Funktionalgleichung für Zeta;231
21.6;16.6 Die Nullstellen von Zeta;232
21.7;16.7 Die Berechnung von .(x) und p(x);234
21.8;16.8 Irreführende Spuren;236
21.9;16.9 Von Mangoldts explizite Formel und der Primzahlsatz;239
21.10;16.10 Die Riemannsche Vermutung;242
21.11;16.11 Warum ist die Riemannsche Vermutung wichtig?;244
21.12;16.12 Reelle Alternativen;245
21.13;16.13 Ein indirekter Weg zur Unsterblichkeit – teilweise verschlossen;247
21.14;16.14 Ansporn – damals und heute;250
21.15;16.15 Fortschritte;253
22;A Das griechische Alphabet;259
23;B Die Größenordnung von Funktionen;260
24;C Taylorreihen;261
24.1;C.1 Grad 1;261
24.2;C.2 Grad 2;261
24.3;C.3 Beispiele;263
24.4;C.4 Konvergenz;263
25;D Funktionentheorie;265
25.1;D.1 Komplexe Differentialrechnung;265
25.2;D.2 Die Weierstraßsche Funktion;270
25.3;D.3 Komplexe Logarithmen;272
25.4;D.4 Komplexe Integration;273
25.5;D.5 Eine nützliche Ungleichung;275
25.6;D.6 Das unbestimmte Integral;276
25.7;D.7 Ein folgenreiches Ergebnis;278
25.8;D.8 Eine erstaunliche Folgerung;279
25.9;D.9 Taylorreihen – und eine wichtige Folgerung;281
25.10;D.10 Laurentreihen – und eine weitere wichtige Folgerung;284
25.11;D.11 Residuenkalkül;286
25.12;D.12 Analytische Fortsetzung;288
26;E Anwendung auf die Zeta-Funktion;290
26.1;E.1 Analytische Fortsetzung von Zeta;290
26.2;E.2 Funktionalgleichung für Zeta;293
27;Literaturverzeichnis;296
28;Namensverzeichnis;303
29;Sachverzeichnis;307
