Elemente der Algebra

Eine Einführung in Grundlagen und Denkweisen
1997
ISBN: 978-3-8154-2122-2
Verlag: Vieweg+Teubner Verlag

Buch, Deutsch, 172 Seiten, Paperback, Format (B × H): 162 mm x 229 mm, Gewicht: 282 g

Reihe: Mathematik-ABC für das Lehramt

Das Wort Algebra entstammt dem Titel.Hisab aljabr W'almugabalah" (Erganzung und Ausgleich) von MUHAMED IBN MUSA AL CHW ARAZMI, einem Mathema­ tiker und Astronom, der urn 810 bis 840 am Hofe des Sohnes von HARUN AL RASCHID in Bagdad wirkte. Algebra wurde zunachst als Bezeichnung fur die Lehre von der.Auflosung von Gleichungen durch Hinzufugen und Weglassen von Gliedern auf beiden Seiten einer Gleichung" benutzt. Die Behandlung von Um­ formungsregeln fur Glezchungen, in den en mit VIETA (1540 - 1603) auch Variable auftraten, war uber einen langen Zeitraum Gegenstand der (klassischen) Algebra. Am Ende des 18. Jahrhunderts traten Fragen nach der Existenz von Losungen alge­ braischer Gleichungen sowie die Suche nach Methoden zum Losen solcher Gleichun­ gen in den Vordergrund. Insbesondere fuhrte die Frage nach.Radikaldarstellungen" fur Losungen -die bekannte Losungsformel fur quadratische Gleichungen kann als solche bezeichnet werden - bereits vor etwa 200 J ahren zu Methoden, bei denen Eigenschaften algebraischer Strukturen genutzt wurden. Zunachst waren diese nur Hilfsmittel zur Untersuchung von Problemen der klassischen Algebra; es zeigte sich jedoch bereits am Ende des 19. Jahrhunderts, daB ihre Bedeutung wesentlich weiter reicht und daB sie sich auf zahlreiche Probleme in anderen mathematischen Gebie­ ten und in den Naturwissenschaften anwenden lassen. Aus solchen Erkenntnissen heraus entwickelte sich die.moderne" C.abstrakte" oder Jormale" oder.axiomatische") Algebra. Die mit dem Wort Algebra verbundenen Auffassungen haben sich also in der ma­ thematikhistorischen Entwicklung mehrfach verandert.

Zielgruppe

Upper undergraduate

Autoren/Hrsg.

Göthner, Peter

Fachgebiete

• Mathematik | Informatik Mathematik Algebra Elementare Algebra

Inhaltsverzeichnis

1 Strukturen mit einer binären Operation.- 1.1 Gruppen und Halbgruppen.- 1.2 Folgerungen aus Gruppen- und Halbgruppenaxiomen.- 1.3 Isomorphic.- 1.4 Unterstrukturen.- 1.5 Nebenklassen — der Satz von LAGRANGE.- 1.6 Zyklische Gruppen.- 1.7 Permutationsgruppen, Restklassengruppen und Gruppen von Deckabbildungen.- 1.8 Isomorphieklassen von Gruppen kleiner Ordnung.- 2 Strukturen mit zwei binären Operationen.- 2.1 Ringe und Körper.- 2.2 Folgerungen aus Ring- und Körperaxiomen.- 2.3 Unterstrukturen von Ringen und Körpern.- 2.4 Isomorphe Einbettungen.- 3 Strukturerhaltende Abbildungen.- 3.1 Homomorphe Abbildungen.- 3.2 Homomorphiesätze.- 4 Konstruktion von Strukturen.- 4.1 Direkte Produkte.- 4.3 Konstruktion eines Quotientenkörpers aus einem Integritätsbereich.- 4.4 Polynomringe.- 4.5 Quadratische Erweiterungsringe.- 4.6 Körpererweiterungen.- 5 Teilbarkeit.- 5.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen.- 5.2 Euklidische Ringe.- 6 Algebraische Gleichungen.- 6.1 Abspaltung von Linearfaktoren.- 6.2 Die Menge C der komplexen Zahlen als algebraisch abgeschlossener Körper.- 6.3 Darstellung von Nullstellen durch Radikale.- 6.4 Algebraische Behandlung von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 7 Angeordnete Strukturen.- 7.1 Positivitätsbereiche in Gruppen und Ringen.- 7.2 Ordnungsrelationen und Positivitätsbereiche.- 7.3 Archimedische Anordnungen und Dichtheit.- 7.4 Vollständig angeordnete Körper.- Lösungshinweise zu den Übungen.- Überblick über benutzte Symbole.- Literatur.