Fricke Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

1. Auflage 2020
ISBN: 978-3-7504-5851-2
Verlag: BoD - Books on Demand
Format: EPUB
Kopierschutz: 6 - ePub Watermark

E-Book, Deutsch, Band 3, 500 Seiten

Reihe: Mathematik verstehen

Dieses Buch ist für alle gedacht, die sich als Schüler einer weiterführenden Schule und im Rahmen ihres Studiums mit der mathematischen Materie auseinandersetzen müssen und eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Außerdem kann dieses Buch auch als Nachschlagewerk verwendet werden. Lösung von Problemstellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik werden in kleinen, nachvollziehbaren Schritten behandelt, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

Werner Fricke, geboren am 19.11.49, ist wohnhaft in Schwerte. Nach dem Maschinenbaustudium war er wissenschaftlicher Angestellter der Abteilung Maschinenbau an der Universität Dortmund. Danach gründete er die Fa. DRIGUS GmbH und widmete sich der Entwicklung von Hard- und Software für den Bereich des Industrial-Engineering. Im Rahmen seiner Tätigkeiten beschäftigte er sich mit der Schulung und Beratung in den Bereichen mathematische Statistik, Programmiertechnik, Zeitstudientechnik und Planzeitbildung. Er veröffentlichte folgende Bücher: Rechnergestützte Planung von Übergabesystemen zwischen Transport und Fertigung, VDI-Verlag Düsseldorf Statistik in der Arbeitsorganisation, Hanser Verlag München Mathematik verstehen Band 1: von den Grundlagen bis zum Integral, BoD - Verlag Mathematik verstehen Band 2: Grundlagen für das Studium naturwissenschaftlicher und technischer Fächer, BoD - Verlag Arbeits- und Zeitwirtschaft verstehen: von der Zeitstudie bis zur Abtaktung, BoD - Verlag

Autoren/Hrsg.

Fricke, Werner

Leseproben

1 Grundlagen der Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anzahl möglicher Anordnungen bei einem Versuch. Sie wird auch als Untersuchung des Abzählens von einzelnen Ereignissen bezeichnet. Die Kombinatorik umfasst eine weites Gebiet, von dem wir hier nur folgende Elemente untersuchen wollen:

• Permutation
• Variation
• Kombination

Diese Methoden sind ein wichtiges Hilfsmittel für die Lösung von Problemstellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Vorbemerkung:

Im Folgenden ist häufig davon die Rede, dass bestimmte Elemente oder Objekte angeordnet werden oder aus einer Grundmenge oder Obermenge entnommen werden. In Abschnitt 2.2.3 werden dann Experimente behandelt, die sich mit der Ziehung von Kugeln (Elemente oder Objekte) aus einer Urne beschäftigen. Dabei fallen auch Begriffe wie

• ohne Wiederholung
• mit Wiederholung
• ohne Zurücklegen
• mit Zurücklegen

Ohne Wiederholung: Ein Objekt darf nur einmal ausgewählt werden. Damit steht es bei der weiteren Auswahl nicht mehr zur Verfügung.

Mit Wiederholung: Ein Objekt darf mehrmals ausgewählt werden. Es steht bei jeder weiteren Auswahl erneut zur Verfügung.

Ohne Zurücklegen: Bei der Ziehung von Kugeln aus einer Urne darf die einmal gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgelegt werden. Sie steht also bei weiteren Ziehungen nicht mehr zur Verfügung.

Mit Zurücklegen: Bei der Ziehung von Kugeln aus einer Urne wird die einmal gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt werden. Sie steht also bei weiteren Ziehungen erneut zur Verfügung.

Es existieren also folgende zwei Synonyme:

1. Das Anordnen von Elementen ohne Wiederholung entspricht exakt der Ziehung von Objekten aus einer Urne ohne Zurücklegen.
2. Das Anordnen von Elementen mit Wiederholung entspricht exakt der Ziehung von Objekten aus einer Urne mit Zurücklegen.

1.1 Die Permutation

Bei der Permutation wird untersucht, auf wie viele verschiedene Weisen sich die Elemente oder Objekte einer gegebenen Menge anordnen lassen. Je nachdem, ob die Objekte einfach oder mehrfach auftreten, spricht man von Permutation ohne oder mit Wiederholung.

Im Folgenden wollen wir anhand einfacher Beispiele den zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten näher kommen, um anschließend die daraus resultierenden Formeln abzuleiten.

1.1.1 Permutation ohne Wiederholung (oW)

Bei einer Permutation ohne Wiederholung kommt jedes Element der betrachteten Menge genau einmal vor. Als Elemente kommen z.B. folgende Objekte in Frage:

• unterschiedliche Zahlen
• verschiedenfarbige Kugeln
• unterschiedliche Buchstaben
• beliebige unterschiedliche Objekte

Man kann das Grundprinzip der Permutation ohne Wiederholung sehr gut anhand der Anordnung von Zahlen demonstrieren. Alle anderen Objekte verhalten sich analog.

Beispiele:

(1) Wie oft kann man die Zahl 1 unterschiedlich anordnen?

Dies ist natürlich eine triviale Frage, denn man kann ein einziges Objekt natürlich nur einmal anordnen, die Antwort lautet also PoW(n=1) = 1

(gelesen: Permutation ohne Wiederholung von n gleich 1 gleich 1).

(2) Wie oft kann man die Zahlen 1 und 2 unterschiedlich anordnen?

Hier wird man sofort sagen: (1, 2) und (2, 1) sind die möglichen Anordnungen. Wir erhalten also:

(3) Wie oft kann man die Zahlen von 1 bis 3 unterschiedlich anordnen?

Wir erhalten folgende Anordnungen:

(1, 2, 3) ; (2, 1, 3) ; (1, 3, 2) ; (2, 3, 1) ; (3, 1, 2) ; (3, 2, 1)

Man kann dieses Ergebnis wie folgt beschreiben:

Wir vertauschen (permutieren) zunächst die Zahlen 1 und 2 und belassen dabei die Zahl 3 auf der dritten Position. Danach ziehen wir die 3 um eine Position nach links (Mittelposition) und vertauschen wieder die Zahlen 1 und 2. Zum Schluss ziehen wir die 3 wieder um eine Position nach links (1. Position) und vertauschen nochmals die Zahlen 1 und 2. Wir können also die Zahl 3 an drei verschiedenen Stellen positionieren und dabei jeweils die Zahlen 1 und 2 permutieren.

Wir erhalten also folgende Permutationen:

(4) Wie oft kann man die Zahlen von 1 bis 4 unterschiedlich anordnen?

Hier gehen wir genauso vor wie in (3). Wir positionieren die Zahl 4 an der vierten, dritten, zweiten und ersten Stelle und permutieren jeweils die Zahlen 1, 2 und 3 wie in (3).

(1, 2, 3, 4) ; (2, 1, 3, 4) ;

(1, 3, 2, 4) ; (2, 3, 1, 4) ;

(3, 1, 2, 4) ; (3, 2, 1, 4)

(1, 2, 4, 3) ; (2, 1, 4, 3) ;

(1, 3, 4, 2) ; (2, 3, 4, 1) ;

(3, 1, 4, 2) ; (3, 2, 4, 1)

(1, 4, 2, 3) ; (2, 4, 1, 3) ;

(1, 4, 3, 2) ; (2, 4, 3, 1) ;

(3, 4, 1, 2) ; (3, 4, 2, 1)

(4, 1, 2, 3) ; (4, 2, 1, 3) ;

(4, 1, 3, 2) ; (4, 2, 3, 1) ;

(4, 3, 1, 2) ; (4, 3, 2, 1)

Wir erhalten also folgende Permutationen:

(5) Wie oft kann man die Zahlen von 1 bis 5 unterschiedlich anordnen?

Ich glaube das Prinzip ist jetzt klar und wir können das Ergebnis sofort hinschreiben:

Damit haben wir das Grundprinzip der Permutation ohne Wiederholung gezeigt. Wenn wir dieses Prinzip auf beliebige Mengen mit n Elementen ausdehnen, erhalten wir die folgende Formel:

(gesprochen n-Fakultät) n = Anzahl de Elemente der Menge

Man erhält also die Anzahl der Permutationen einer Menge mit n Elementen, indem man die Zahlen 1 bis n miteinander multipliziert. Man kann dies auch wie folgt schreiben:

1.1.2 Permutation mit Wiederholung (mW)

Bei einer Permutation mit Wiederholung kommen ein oder mehrere Elemente der betrachteten Menge mehrfach vor. Da diese mehrfach vorkommenden Elemente nicht unterschieden werden können, kann eine Vertauschung dieser nicht festgestellt werden.

Wir wollen das Grundprinzip der Permutation mit Wiederholung ebenfalls anhand der Anordnung von Zahlen demonstrieren. Alle anderen Objekte verhalten sich analog.

Zunächst müssen wir jedoch den Begriff der Gruppe einführen:

Eine Gruppe ist eine Anordnung von identischen Elementen innerhalb einer Menge. Die Anzahl der Elemente der Gruppe wird mit g bezeichnet. Befinden sich mehrere Gruppen innerhalb einer Menge, dann werden deren jeweiligen Anzahlen mit g1, g2, g3 usw. bezeichnet.

Hierzu ein Beispiel:

Menge M = {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3}

Anzahl der Elemente der Menge:

n = 7

Anzahl der Elemente der Gruppe 1:

g1 = 2

Anzahl der Elemente der Gruppe 2:

g2 = 3

Anzahl der Elemente der Gruppe 3:

g3 = 2

Beispiele für Permutationen mit Wiederholung:

(1) Wie oft kann man die Zahlen 1 und 1 unterschiedlich anordnen?

Es gilt n = 2 und g = 2. Da man zwischen der Anordnung (1, 1) und der vertauschten Anordnung (1, 1) nicht unterscheiden kann, gibt es lediglich eine Anordnung. Rein rechnerisch erhalten wir:

Dies kann man wie folgt interpretieren:

Zähler: Wir haben zwei Elemente, die wir auf 2 Arten anordnen können:

Nenner: Wir haben eine Gruppe mit 2 Elementen, deren Anordnungen wir nicht unterscheiden können: P(g=2) = 1 · 2 = 2!

Durch die Division wird deren Vertauschung rückgängig gemacht.

(2) Wie oft kann man die Zahlen 1, 1 und 2 unterschiedlich anordnen?

Es gilt n = 3 und g = 2. Es gibt folgende Anordnungen:

(1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; (2, 1, 1)

Wir erhalten also:

Im Zähler haben wir wieder die insgesamt möglichen Anordnungen:

Im Nenner steht die Anzahl der nicht unterscheidbaren Anordnungen der Gruppe:

(3) Wie oft kann man die Zahlen 1, 2, 3, 3 und 3 unterschiedlich anordnen?

Es gilt n = 5 und g = 3. Es gibt folgende Anordnungen:

(1, 2, 3, 3, 3) ;

(2, 1, 3, 3, 3) ;

(3, 1, 2, 3, 3) ;

(3, 2, 1, 3, 3)

(1, 3, 2, 3, 3) ;

(2, 3, 1, 3, 3) ;

(3, 1, 3, 2, 3) ;

(3, 2, 3, 1, 3)

(1, 3, 3, 2, 3) ;

(2, 3, 3, 1, 3) ;

(3, 1, 3, 3, 2) ;

(3, 2, 3, 3, 1)

(1, 3, 3, 3, 2) ;

(2, 3, 3, 3, 1) ;

(3, 3, 1, 2, 3) ;

(3, 3, 2, 1, 3)

(3, 3, 1, 3, 2) ;

(3, 3, 2, 3, 1)

(3, 3, 3, 1, 2) ;

(3, 3, 3, 2, 1)

Wir erhalten also:

Zähler: Anzahl der insgesamt möglichen Anordnungen:

Nenner: Anzahl der nicht unterscheidbaren Anordnungen der Gruppe:

(4) Wie oft kann man die Zahlen 1, 1, 3, 3 und 3 unterschiedlich anordnen?

Es gilt n = 5, g1 = 2 und g2 = 3. Es gibt folgende Anordnungen:

(1, 1, 3, 3, 3)

; (3, 1, 3, 1, 3)

(1, 3, 1, 3, 3)

; (3, 1, 3, 3, 1)

(1, 3, 3, 1, 3)

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