Franco Cálculo

El verbo del cosmos
1. Auflage 2014
ISBN: 978-607-03-0553-5
Verlag: Siglo XXI Editores México
Format: EPUB
Kopierschutz: 6 - ePub Watermark

E-Book, Spanisch, 158 Seiten

Reihe: Ciencia y técnica

El cálculo no sólo es imprescindible para el avance de la ciencia y la tecnología, es también un concepto de gran belleza. A través de esta herramienta matemática cualquier ser humano puede manejar los límites de lo infinito: lo infinitamente minúsculo o lo inmenso. Con ello, por lo tanto, puede entender el mundo micro del átomo y el universo macro de la galaxia. En este conciso libro, Jorge Franco presenta una versión elocuente, aunque rigurosa, de los conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal y su aplicación a la física. Conduce gradualmente al lector por los momentos históricos en que surgieron las ideas geniales que configuraron, finalmente, la maravillosa teoría del cálculo diferencial e integral.

Estudió física y matemáticas en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Fue subdirector de sistemas de información de la Organización de Estados Americanos (OEA) en Washington. Posteriormente trabajó como ingeniero de sistemas y gerente de IBM. Como consultor independiente ha dado múltiples asesorías, conferencias y seminarios sobre nuevas tecnologías de comunicación y computación de varias corporaciones y universidades en diversos países. Entre otras actividades profesionales, fue hace sólo por varios años de la Secretaría de Educación Pública (SEP) de México. Durante ese tiempo desarrolló un programa interactivo de matemáticas de internet y escribió el libro Cálculo. El verbo del cosmos. Después de una larga experiencia en investigación educacional publicó Educación y tecnología. Solución radical y la sinrazón de la religión (como corolario de una educación laica). Jorge Franco ha trabajado y vivido muchos años en varias ciudades de México, España y Estados Unidos. Actualmente vive en el área de San Francisco, California.

Autoren/Hrsg.

Franco, Jorge

Leseproben

COMIENZA “LA FUNCIÓN”

Debemos familiarizarnos con la idea de que función es uno de los conceptos más importantes del cálculo. Junto con el otro concepto de límite son los dos requerimientos indispensables para entender y aplicar el cálculo y, de ahí, emplear las nuevas disciplinas de las matemáticas. Las funciones son los objetos matemáticos a los que se les aplican los procesos de diferenciación e integración.

Cotidianamente la palabra función evoca la idea de representación, verbigracia, “ya va a empezar la función”, o la de dependencia, como cuando decimos: “en función de qué…”. En cálculo nos acercamos más a esta última acepción: una cantidad variable cambia en función de los cambios de otra variable estrechamente relacionada. Por ejemplo, cualquier cambio de posición puede representarse en un sistema de coordenadas cartesianas donde un eje puede ser la distancia que, al variar, provoca un cambio en el otro eje que representa el tiempo transcurrido de algún evento; o sea, la distancia, en este caso, está en función del tiempo. El concepto de función es la base de la ciencia y de la economía, es decir, puede describir actividades de la naturaleza o de la humanidad.

Al físico, biólogo, químico o matemático le interesa medir cambios, verbigracia, de posición, de cantidad, de energía. Estos cambios pueden representarse a través de asignar números reales al eje correspondiente. Esta representación cartesiana es una maravillosa invención de incalculable poder.

Hay que enfatizar que el sistema de coordenadas cartesianas puede servir para graficar cualquier cambio, no sólo de posición y tiempo. De este modo, podemos tener cambios en la bolsa de valores, decremento o crecimiento de una población en particular o la mundial, decaimiento de un elemento radioactivo, y así sucesivamente. En este último ejemplo se puede decir que la desintegración o decaimiento de un material inestable es función del tiempo. Es decir, dado un tiempo, se tiene un cambio en un elemento radioactivo rumbo hacia un elemento estable.

Muchos principios generales que rigen el comportamiento de ciertos procesos físicos están formulados casi invariablemente en términos de la proporción de cambio de una cantidad respecto a otra, de la cual es dependiente.

Un proceso es una sucesión ordenada de eventos que tienen lugar en el espacio y en el tiempo. Ese proceso puede ser representado en un mapa. Tal vez te estés preguntando cómo puede trazarse dicho mapa. Esto se hace a través de una función que está representada en una fórmula o en una regla verbal. Una función relaciona un valor de una variable con un, y sólo un valor de otra variable relacionada. De esta manera, la acción de una función es la de asociar dos números reales. Uno de esos números representa un cierto valor de la variable llamada independiente, y el otro representa el valor de una variable llamada dependiente. En nuestro ejemplo del automóvil, el número que representa la distancia es dependiente de la hora, es decir, la posición del auto depende funcionalmente del tiempo.

De este modo, los dos números ordenados, primero el independiente y luego el dependiente, pueden representarse como un punto en el sistema cartesiano. El primero como una abscisa en el eje horizontal, y el otro como una ordenada en el eje vertical. Por ejemplo, si la regla de una función dice: a cada número entero asignarle su correspondiente cuadrado, entonces tenemos una lista de pares de números ordenados (–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)… Sorprendentemente, podemos decir lo mismo de manera compacta a través de la ecuación y = x2. Se dice que la variable y es una función dependiente de los valores de x. Adicionalmente, se puede graficar esta función, cuya curva resulta ser una parábola, la cual, como se dijo anteriormente, es una de las curvas favoritas de la naturaleza.

DIVERSAS FUNCIONES Y ESCENIFICACIONES

La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen una ecuación dada. El eje horizontal representa la variable independiente, y el eje vertical la variable dependiente. De este modo, al par de números relacionados 2 y 4, por ejemplo, le corresponde el punto (2, 4) en el plano o “mapa” cartesiano. Si, en concreto, se trata de la fórmula y = x2, y si calculamos suficientes pares de números, los representamos por sus correspondientes puntos y después los unimos con una línea continua, obtendremos la conocida gráfica de la parábola.

Examinando de cerca la ecuación y = x2 vemos que ésta nos dicta que para cada valor (cualquier número real) de x, existe otro número real y que es el cuadrado de x. Se dice también que, dada cualquier x, se genera una y dependiente, es decir, y depende de x, o lo que es lo mismo, y es una función de x, lo cual se representa de la siguiente forma: y = f(x) = x2. Así, cuando x = 2, tenemos f(2) = 4, y así sucesivamente para otros valores como f(3) = 9, f(4) = 16, f(9) = 81.

Enfatizando lo anteriormente expuesto se puede decir que de la aritmética (con sus números reales) pasamos a la geometría (con sus números ordenados) y de ahí al álgebra (con su función y ecuación). El cálculo, apoyado en la idea de función, pone en movimiento a dichos números y gráficas. Ya que estos elementos —función y gráficas— pueden reflejar eventos y procesos de cualquier tipo, basta con que uno de los ejes de coordenadas represente el tiempo y el otro el espacio (o algún otro concepto medible) para que tengamos un ingenioso mecanismo para medir, representar y predecir eventos naturales o sociales que suceden en la tetradimensionalidad espacio-tiempo.

El concepto de función es similar al de investigar la causa y el efecto de un fenómeno físico, como cuando nos preguntamos cuál es la causa de las mareas, es decir, de qué depende algo o con qué está relacionado. Dicho de otra forma: en función de qué son las mareas. Los fenómenos naturales, como la marea y el clima, pueden ser muy complejos y deberse a varios factores simultáneos, por lo que se procura aislarlos de dos en dos factores a la vez, a fin de disminuir la complejidad de su estudio. En matemáticas se asigna una cantidad variable a cada factor y se determina la relación o dependencia entre dichos factores. Se acostumbra designar las cantidades variables con las letras x, y. Si a cada valor de x le corresponde exactamente un valor de y, entonces se dice que y es una función de x. Esto se representa así: y = f(x).

Definición formal de función con teoría de conjuntos

Algunos libros de texto extienden el concepto de función con la ayuda de la teoría de conjuntos: “Una función es una regla o fórmula que asigna a cada elemento del conjunto A, uno y sólo un elemento del conjunto B.”

Al conjunto A se le llama el dominio de la función y al conjunto B, el rango. Así, nuestro ejemplo de función f(x) = x2 se puede mostrar de la siguiente manera:

Tabla de pares ordenados conjuntos

En este ejemplo vemos que el dominio de x puede ser el conjunto de todos los números reales (negativos y positivos) y el rango de y sólo el conjunto de ciertos números positivos.

La definición de función bajo el concepto de teoría de conjuntos tiene la ventaja de poder ser visualizada abreviadamente en el siguiente diagrama, con su entrada (E), proceso (P) y salida (S):

(E) Dominio

(P) Función

(S) Rango

–1, 0, 1, 2, 3, …

f(x) = x2

0, 1, 4, 9, …

La acción del cálculo puede representarse esquemáticamente como un rectángulo (simbolizando el proceso) que tiene entradas y salidas de números reales. El proceso, que está en forma verbal o en forma de ecuación, representa una función que transforma dichas entradas en salidas.

Dichas ecuaciones, con sus correspondientes gráficas, pueden clasificarse en diversas categorías. Por ejemplo, la función-ecuación y = x2 pertenece a la categoría de ecuación cuadrática y su gráfica es de la familia de las parábolas.

Funciones elementales y sus gráficas

Vamos a empezar a asomarnos a la belleza ingeniosa con la que la naturaleza realiza sus procesos. Hemos dicho que es un hecho asombroso que las leyes fundamentales del universo puedan ser representadas en unas ecuaciones relativamente simples, como vamos a ver a lo largo del estudio del cálculo.

Vamos a examinar cuidadosamente la diversidad de funciones que existen y sus correspondientes gráficas. Lo interesante de hacer esto es que nos permite aplicar a dichas funciones las dos nuevas operaciones del cálculo, la diferenciación y la integración, algo así como restar y sumar pero a un nivel más elevado que en la aritmética, y ver qué sucede. Tendremos así, al final, un poderoso y completo...