Després Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques

1. Auflage 2010
ISBN: 978-3-642-11657-5
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Französisch, 286 Seiten, Web PDF

Reihe: Mathématiques et Applications

Les systèmes de lois de conservation non linéaires modélisent les écoulements compressibles et incompressibles dans des domaines extrêmement variés tels que l'aéronautique, l'hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion, le trafic routier, l'élasticité non linéaire. Le cadre mathématique général est celui des systèmes de lois de conservation. Les exemples physiques sont nombreux et souvent spectaculaires. Cela contribue à fonder une nouvelle discipline, la Mécanique des Fluides Numérique. La présentation proposée porte l'accent sur les systèmes que l'on appellera lagrangiens ou écrits en coordonnées de Lagrange, sur leurs relations avec les systèmes en coordonnées d'Euler et sur les possibilités que cela offre pour la construction et l'analyse de schémas numériques entropiques. De nombreux exemples numériques sont présentés en liaison avec le contexte physique, ainsi que des exercices.

It has long been observed that systems of conservation laws written in the Lagrange variable offer a good alternative for the numerical computation of approximate solutions. In this monograph we seek to develop a systematic presentation of the use of the Lagrange variable for the analysis and discretization of systems of conservation laws arising in continuum mechanics.

Zielgruppe

Research

Autoren/Hrsg.

Després, Bruno

Inhaltsverzeichnis

Modèles.- Étude d’une loi de conservation.- Systèmes.- Le système de la dynamique des gaz compressibles.- Solveurs lagrangiens à un état et à deux états.- Systèmes lagrangiens multidimensionnels.

Leseproben

"1 Introduction (p. 1-2)

Les syst`emes de lois de conservation mod´elisent les ´ecoulements compressibles et incompressibles dans des domaines extrˆemement vari´es tels que l’a´eronautique, l’hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion, le tra?c routier, l’´elasticit´e non lin´eaire. Les ´equations sont non lin´eaires et expriment les relations de bilan pour diverses quantit´es telles que masse, impulsion et ´energie totale pour la dynamique des gaz compressibles.

Le cadre math´ematique g´en´eral est celui des syst`emes de lois de conservation. Le caract`ere non lin´eaire des ´equations implique l’existence des solutions discontinues appel´ees chocs. Cela recouvre le bang sonique, les ´ecoulements hypersoniques (autour des avions par exemple), les ph´enom`enes de mascaret, les bouchons pour le tra?c routier, les explosions de supernovae, la d´etonation en g´en´eral. Les exemples sont nombreux et souvent spectaculaires. Au plan num´erique on peut noter que le d´eveloppement de m´ethodes adapt´ees au calcul de telles solutions discontinues impose des contraintes nouvelles. Cela contribue `a fonder une nouvelle discipline, la M´ecanique des Fluides Num´erique.

Un des objectifs de ce texte est de pr´esenter les raisons pour lesquelles on utilise de tels syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles, de les analyser sur le plan math´ematique, et de construire quelques sch´emas de Volumes Finis pour la r´esolution num´erique. Ce faisant nous aurons les outils pour ´etudier les chocs d’un point de vue tant physique, que math´ematique et num´erique. Un point capital est le rˆole d’une quantit´e appel´ee entropie (par r´ef´erence au substrat thermodynamique de cette notion) qui traduit le fait qu’une discontinuit ´e math´ematique est de fait une id´ealisation.

La pr´esentation propos´ee portera l’accent sur les syst`emes que l’on appellera lagrangiens ou ´ecrits en coordonn´ees de Lagrange et sur leurs relations avec les syst`emes en coordonn´ees d’Euler. La di?´erence entre les coordonn´ees d’Euler et les coordonn´ees de Lagrange tient au r´ef´erentiel utilis´e pour ´ecrire les syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Les coordonn´ees d’Euler sont les coordonn´ees du laboratoire.

Pour un ?uide les coordonn´ees de Lagrange sont les coordonn´ees du ?uide en mouvement. On peut aussi choisir les coordonn´ees eul´eriennes au temps initial. Les syst`emes lagrangiens ayant une entropie ont une structure particuli`ere que nous ´etudierons en d´etail. L’´ecriture en coordonn´ees de Lagrange a de nombreuses et fructueuses cons´equences pour la construction et l’analyse de m´ethodes num´eriques adapt´ees `a la discr´etisation des ´equations de la physique math´ematique.

Le contrˆole de la stabilit´e de ces m´ethodes num´eriques reposera de mani`ere syst´ematique sur l’obtention d’in´egalit´es discr`etes d’entropies qui permettent en pratique d’obtenir la stabilit´e au sens L2. En dimension un d’espace les m´ethodes pr´esent´ees sont tout `a fait classiques, au sens o`u elles ont ´et´e publi´ees et republi´ees maintes fois dans des contextes parfois di?´erents. On consultera `a pro?t [GR96]."