Després Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques

1. Auflage 2010
ISBN: 978-3-642-11657-5
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Französisch, Band 68, 286 Seiten

Reihe: Mathématiques et Applications

Les systèmes de lois de conservation non linéaires modélisent les écoulements compressibles et incompressibles dans des domaines extrêmement variés tels que l'aéronautique, l'hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion, le trafic routier, l'élasticité non linéaire. Le cadre mathématique général est celui des systèmes de lois de conservation. Les exemples physiques sont nombreux et souvent spectaculaires. Cela contribue à fonder une nouvelle discipline, la Mécanique des Fluides Numérique. La présentation proposée porte l'accent sur les systèmes que l'on appellera lagrangiens ou écrits en coordonnées de Lagrange, sur leurs relations avec les systèmes en coordonnées d'Euler et sur les possibilités que cela offre pour la construction et l'analyse de schémas numériques entropiques. De nombreux exemples numériques sont présentés en liaison avec le contexte physique, ainsi que des exercices. It has long been observed that systems of conservation laws written in the Lagrange variable offer a good alternative for the numerical computation of approximate solutions. In this monograph we seek to develop a systematic presentation of the use of the Lagrange variable for the analysis and discretization of systems of conservation laws arising in continuum mechanics.

Autoren/Hrsg.

Després, Bruno

Inhaltsverzeichnis

1;Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques
;4
1.1;1 Introduction;11
1.2;2 Modèles;14
1.2.1;2.1 Équation de bilan;14
1.2.1.1;2.1.1 Trafic routier;15
1.2.1.2;2.1.2 Système de Saint Venant;17
1.2.1.3;2.1.3 Dynamique des gaz compressibles;20
1.2.2;2.2 Invariance Galiléenne;22
1.2.3;2.3 Coordonnées de Lagrange;24
1.2.3.1;2.3.1 Changement de coordonnées et lois de conservation;25
1.2.3.2;2.3.2 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d'espace;28
1.2.3.3;2.3.3 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension deux d'espace;29
1.2.3.4;2.3.4 Formulation de Hui;31
1.2.3.5;2.3.5 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension trois d'espace;31
1.2.4;2.4 Système linéairement bien posé et hyperbolicité;32
1.2.4.1;2.4.1 Stabilité linéaire en dimension un d'espace;32
1.2.4.2;2.4.2 Stabilité linéaire en dimension supérieure;35
1.2.5;2.5 Exemples de calcul des vitesses d'onde;37
1.2.5.1;Le trafic routier;37
1.2.5.2;Le système de St Venant;38
1.2.5.3;La dynamique des gaz compressibles en dimension un;38
1.2.5.4;Application numérique;39
1.2.5.5;La dynamique des gaz compressibles en dimension supérieure;40
1.2.5.6;Le cas lagrangien;41
1.2.6;2.6 Exercices;43
1.2.7;2.7 Notes bibliographiques;45
1.3;3 Étude d'une loi de conservation;47
1.3.1;3.1 Solutions fortes et méthode des caractéristiques;48
1.3.2;3.2 Solutions faibles;52
1.3.3;3.3 Solutions faibles entropiques;55
1.3.3.1;3.3.1 Discontinuités entropiques;58
1.3.3.2;3.3.2 Choc et discontinuité de contact;61
1.3.3.3;3.3.3 Équation des détentes;62
1.3.3.4;3.3.4 Solution entropique du problème de Riemann;64
1.3.3.5;3.3.5 Application et interprétation physique;65
1.3.4;3.4 Calcul numérique de solutions faibles entropiques;69
1.3.4.1;3.4.1 Notion de schéma conservatif;69
1.3.4.2;3.4.2 Schéma de Volumes Finis;72
1.3.4.3;3.4.3 Construction du flux à partir de la méthode des caractéristiques;72
1.3.4.3.1;Premier cas : l'équation du transport;72
1.3.4.3.2;Deuxième cas : le modèle LWR;73
1.3.4.4;3.4.4 Cas général;76
1.3.4.5;3.4.5 Définition d'un schéma générique;78
1.3.4.6;3.4.6 Convergence;80
1.3.4.7;3.4.7 Applications et analyse des résultats;82
1.3.4.7.1;Modèle LWR;82
1.3.4.7.2;Modèle OM pour le trafic dans la ville de Bogota;84
1.3.4.7.3;Modèle de Buckley-Leverett;84
1.3.5;3.5 Comparaison numérique choc-discontinuité de contact;86
1.3.6;3.6 Optimisation du schéma;87
1.3.6.1;3.6.1 Optimisation par rapport à la contrainte de stabilité;88
1.3.6.2;3.6.2 Optimisation par rapport à la précision;88
1.3.7;3.7 Schémas lagrangiens pour le trafic routier;89
1.3.7.1;3.7.1 Schéma lagrangien;90
1.3.7.1.1;Forme finale du flux;91
1.3.7.2;3.7.2 Un résultat numérique;91
1.3.8;3.8 Exercices;92
1.3.9;3.9 Notes bibliographiques;94
1.4;4 Systèmes;95
1.4.1;4.1 Exemples;96
1.4.1.1;4.1.1 Système des eaux peu profondes;96
1.4.1.2;4.1.2 Système de la dynamique des gaz compressible;97
1.4.2;4.2 Entropie et variables entropiques;100
1.4.3;4.3 Solutions faibles entropiques;103
1.4.4;4.4 Solutions autosemblables en xt;106
1.4.4.1;4.4.1 Discussion des détentes;107
1.4.4.2;4.4.2 Discussion des discontinuités;110
1.4.4.2.1;Analyse des conditions de Rankine-Hugoniot (4.39);111
1.4.4.2.2;Analyse de l'inégalité d'entropie (4.40);114
1.4.5;4.5 Retour sur la variable principale U;118
1.4.6;4.6 Solution du problème de Riemann;119
1.4.6.1;4.6.1 Théorème de Lax;120
1.4.6.2;4.6.2 Correspondance Euler-Lagrange;121
1.4.7;4.7 Systèmes en coordonnée de Lagrange;123
1.4.8;4.8 Systèmes à flux d'entropie nul;124
1.4.9;4.9 Vitesses d'ondes pour les systèmes lagrangiens;128
1.4.10;4.10 Enthalpie d'un système lagrangien;133
1.4.11;4.11 Exemples de systèmes lagrangiens;137
1.4.11.1;4.11.1 Le système de la magnétohydrodynamique idéale;137
1.4.11.2;4.11.2 Le modèle de l'hélium superfluide de Landau;142
1.4.11.3;4.11.3 Un modèle multiphasique;147
1.4.12;4.12 Chocs pour les systèmes lagrangiens;149
1.4.13;4.13 Exercices;150
1.4.14;4.14 Notes bibliographiques;156
1.5;5 Le système de la dynamique des gaz compressibles;157
1.5.1;5.1 Calcul des vitesses d'ondes;158
1.5.1.1;5.1.1 Détentes;161
1.5.1.2;5.1.2 Les discontinuités;162
1.5.1.2.1;Les contacts;162
1.5.1.2.2;Les chocs;163
1.5.1.3;5.1.3 Nombre de Mach;166
1.5.1.4;5.1.4 Problème de Riemann pour la dynamique des gaz;167
1.5.2;5.2 Discrétisation numérique;167
1.5.3;5.3 Schéma eulérien de Roe;170
1.5.3.1;5.3.1 Matrice de Roe pour la dynamique des gaz eulérienne;173
1.5.3.2;5.3.2 Propriétés du schéma de Roe;175
1.5.3.2.1;Correcteur entropique et pas de temps;178
1.5.3.3;5.3.3 Résultats numériques;178
1.5.3.3.1;Petite conclusion pour le schéma de Roe;179
1.5.4;5.4 Schéma Lagrange+projection;181
1.5.4.1;5.4.1 Phase lagrangienne;182
1.5.4.2;5.4.2 Phase lagrangienne pour le système de la dynamique des gaz;184
1.5.4.3;5.4.3 Formule du flux lagrangien;187
1.5.4.4;5.4.4 Grille mobile durant la phase lagrangienne;188
1.5.4.5;5.4.5 Phase de projection;189
1.5.4.5.1;Contrôle du pas de temps;190
1.5.4.5.2;Conservativité;190
1.5.4.6;5.4.6 Synthèse;190
1.5.4.7;5.4.7 Conditions au bord;192
1.5.4.8;5.4.8 Résultats numériques;194
1.5.5;5.5 Schéma ALE en dimension un;195
1.5.5.1;5.5.1 Discrétisation numérique;196
1.5.5.2;5.5.2 Discrétisation de (5.46);197
1.5.5.3;5.5.3 Discrétisation de (5.47);197
1.5.5.4;5.5.4 Réécriture sur la grille mobile;198
1.5.5.5;5.5.5 Résultat numérique;200
1.5.6;5.6 Un résultat numérique en dimension deux d'espace;201
1.5.7;5.7 Exercices;202
1.5.8;5.8 Notes bibliographiques;205
1.6;6 Solveurs lagrangiens à un état et à deux états;206
1.6.1;6.1 Solution du problème de Riemann linéarisé;207
1.6.1.1;6.1.1 Solution à un état intermédiaire;208
1.6.1.2;6.1.2 Solution à deux états;210
1.6.2;6.2 Discrétisation numérique;213
1.6.2.1;6.2.1 Autre mode de construction du flux numérique;213
1.6.2.2;6.2.2 Propriété entropique;218
1.6.2.3;6.2.3 Optimisation par rapport au pas de temps;220
1.6.2.4;6.2.4 Optimisation par rapport à la simplicité de mise en oeuvre;223
1.6.3;6.3 Exercices;225
1.6.4;6.4 Notes bibliographiques;226
1.7;7 Systèmes lagrangiens multidimensionnels;227
1.7.1;7.1 Cadre théorique;227
1.7.2;7.2 Inégalité entropique discrète;228
1.7.3;7.3 Stabilité L2;231
1.7.4;7.4 Dynamique des gaz en géométrie cylindrique ou sphérique;232
1.7.5;7.5 MHD en dimension supérieure;236
1.7.5.1;Phase lagrangienne;238
1.7.5.2;Splitting directionnel;241
1.7.5.3;Phase de projection;241
1.7.5.4;Réactualisation de C;241
1.7.6;7.6 Dynamique des gaz lagrangienne;242
1.7.6.1;7.6.1 Maillage mobile;244
1.7.6.1.1;Compatibilité entre les vitesses aux noeuds et la vitesse au milieu du segment;244
1.7.6.1.2;Quelques notations;246
1.7.6.1.3;Compatibilité avec l'identité de Piola;248
1.7.6.1.4;Compatibilité avec la formulation de Hui;248
1.7.6.2;7.6.2 Tentative de construction d'un schéma numérique;249
1.7.6.3;7.6.3 Une première solution;252
1.7.6.4;7.6.4 Une deuxième solution;254
1.7.6.5;7.6.5 Une troisième solution;260
1.7.6.6;7.6.6 Un schéma lagrangien sur grilles décalées;262
1.7.6.7;7.6.7 Choix du maillage pour un calcul donné;266
1.7.6.8;7.6.8 Gravité et équilibre hydrostatique;269
1.7.6.8.1;Le cas 1D;271
1.7.6.8.2;Le cas 2D;274
1.7.6.9;7.6.9 Convergence;277
1.7.7;7.7 Exercices;279
1.7.8;7.8 Notes bibliographiques;280
1.8;Littérature;282
1.9;Index;288

Leseproben

"1 Introduction (p. 1-2)

Les syst`emes de lois de conservation mod´elisent les ´ecoulements compressibles et incompressibles dans des domaines extrˆemement vari´es tels que l’a´eronautique, l’hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion, le tra?c routier, l’´elasticit´e non lin´eaire. Les ´equations sont non lin´eaires et expriment les relations de bilan pour diverses quantit´es telles que masse, impulsion et ´energie totale pour la dynamique des gaz compressibles.

Le cadre math´ematique g´en´eral est celui des syst`emes de lois de conservation. Le caract`ere non lin´eaire des ´equations implique l’existence des solutions discontinues appel´ees chocs. Cela recouvre le bang sonique, les ´ecoulements hypersoniques (autour des avions par exemple), les ph´enom`enes de mascaret, les bouchons pour le tra?c routier, les explosions de supernovae, la d´etonation en g´en´eral. Les exemples sont nombreux et souvent spectaculaires. Au plan num´erique on peut noter que le d´eveloppement de m´ethodes adapt´ees au calcul de telles solutions discontinues impose des contraintes nouvelles. Cela contribue `a fonder une nouvelle discipline, la M´ecanique des Fluides Num´erique.

Un des objectifs de ce texte est de pr´esenter les raisons pour lesquelles on utilise de tels syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles, de les analyser sur le plan math´ematique, et de construire quelques sch´emas de Volumes Finis pour la r´esolution num´erique. Ce faisant nous aurons les outils pour ´etudier les chocs d’un point de vue tant physique, que math´ematique et num´erique. Un point capital est le rˆole d’une quantit´e appel´ee entropie (par r´ef´erence au substrat thermodynamique de cette notion) qui traduit le fait qu’une discontinuit ´e math´ematique est de fait une id´ealisation.

La pr´esentation propos´ee portera l’accent sur les syst`emes que l’on appellera lagrangiens ou ´ecrits en coordonn´ees de Lagrange et sur leurs relations avec les syst`emes en coordonn´ees d’Euler. La di?´erence entre les coordonn´ees d’Euler et les coordonn´ees de Lagrange tient au r´ef´erentiel utilis´e pour ´ecrire les syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Les coordonn´ees d’Euler sont les coordonn´ees du laboratoire.

Pour un ?uide les coordonn´ees de Lagrange sont les coordonn´ees du ?uide en mouvement. On peut aussi choisir les coordonn´ees eul´eriennes au temps initial. Les syst`emes lagrangiens ayant une entropie ont une structure particuli`ere que nous ´etudierons en d´etail. L’´ecriture en coordonn´ees de Lagrange a de nombreuses et fructueuses cons´equences pour la construction et l’analyse de m´ethodes num´eriques adapt´ees `a la discr´etisation des ´equations de la physique math´ematique.

Le contrˆole de la stabilit´e de ces m´ethodes num´eriques reposera de mani`ere syst´ematique sur l’obtention d’in´egalit´es discr`etes d’entropies qui permettent en pratique d’obtenir la stabilit´e au sens L2. En dimension un d’espace les m´ethodes pr´esent´ees sont tout `a fait classiques, au sens o`u elles ont ´et´e publi´ees et republi´ees maintes fois dans des contextes parfois di?´erents. On consultera `a pro?t [GR96]."