Courant Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung

Erster Band: Funktionen einer Veränderlichen
3. Auflage 1955
ISBN: 978-3-662-00642-9
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, eBook

Zielgruppe

Research

Autoren/Hrsg.

Courant, Richard

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichni.- Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel. Vorbereitungen.- § 1. Das Zahlenkontinuum.- Das System der rationalen Zahlen und die Notwendigkeit seiner Erweiterung.- Das Kontinuum der reellen Zahlen und unendliche Dezimalbrüche.- Ungleichungen.- § 2. Der Funktionsbegriff.- Beispiele.- Begriffliche Formulierung.- Geometrische Darstellung. Stetigkeit. Monotone Funktionen Umkehrfunktionen.- § 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen.- Die rationalen Funktionen.- Algebraische Funktionen.- Die trigonometrischen Funktionen.- Exponentialfunktion und Logarithmus.- § 4. Funktionen einer ganzzahligen Veränderlichen —Zahlenfolgen —Vollständige Induktion.- Definition und Beispiele.- Das Prinzip der vollständigen Induktion.- Beispiel: Die Summe der erstenn Quadrate.- § 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele.- % MathType!MTEF!2!1!+-
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$${a_n} = \frac{n}{{{a^n}}}$$.- § 6. Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes.- Definition der Konvergenz.- Zweite Definition der Konvergenz.- Monotone Folgen.- Rechnen mit Grenzwerten.- Die Zahle.- Beweis der Irrationalität vone.- Die Zahl als ? Grenzwert.- Das arithmetisch-geometrische Mittel.- Motivierung der präzisen Grenzwertdefinition.- § 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen.- Definitionen und Beispiele.- Motivierung der Begriffsbildung.- § 8. Der Begriff der Stetigkeit.- Definitionen.- Unstetigkeitspunkte.- Sätze über stetige Funktionen.- Anhang I zum ersten Kapitel. Seite.- Vorbemerkungen.- § 1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen.- Das Häufungsstellen-Prinzip.- Intervallschachtelung und Zahlenkontinuum.- Grenzwerte von Zahlenfolgen.- Beweis des Cauchyschen Konvergenzkriteriums.- Oberer und unterer Häufungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge.- § 2. Sätze über stetige Funktionen 60 Größter und kleinster Wert stetiger Funktionen.- Die Gleichmäßigkeit der Stetigkeit.- Der Zwischenwertsatz.- Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion.- Weitere Sätze über stetige Funktionen.- § 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen.- Anhang II zum ersten Kapitel.- § 1. Polarkoordinaten.- § 2. Bemerkungen über komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel. Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.- § 1. Das bestimmte Integral.- Das Integral als Flächeninhalt.- Die analytische Definition des Integrales.- Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral.- § 2. Beispiele.- Erstes Beispiel.- Zweites Beispiel.- Integration vonx?bei beliebigem positiven ganzzahligen ?.- Integration vonx? für beliebiges rationales ? ? -1.- Integration von sinx und cosx.- § 3. Die Ableitung oder der Differentialquotient.- Differentialquotient und Kurventangente.- Der Differentialquotient als Geschwindigkeit.- Beispiele.- Einige Grundregeln für die Differentiation.- Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen.- Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung.- Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von Leibniz.- Der Mittelwertsatz.- Angenäherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare. Differentiale.- Bemerkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissenschaft.- § 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsätze der Differential- und Integralrechnung.- Das Integral als Funktion der oberen Grenze.- Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales.- Die primitive Funktion (Stammfunktion) ; allgemeine Definition des unbestimmten Integrales.- Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung bestimmter Integrale.- Einige Beispiele.- § 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- § 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten.- Die Massenverteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität.- Gesichtspunkte der Anwendungen.- § 7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Anwendung: Integration und Differentiation von x?.- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- § 2. Zusammenhang des Mi ttelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel. Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen.- § 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen.- Differentiationsregeln.- Differentiation der rationalen Funktionen.- Differentiation der trigonometrischen Funktionen.- § 2. Die entsprechenden Integralformeln.- Allgemeine Integrationsregeln.- Integration der einfachsten Funktionen.- § 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient.- Die allgemeine Differentiationsformel.- Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen.- Die zugehörigen Integralformeln.- § 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen.- Die Kettenregel.- Beispiele.- Nochmals Integration und Differentiation vonx? für irrationales ?.- § 5. Maxima und Minima.- Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitungen (Konvexität).- Maxima und Minima.- Beispiele für Maxima und Minima.- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion.- Definition des Logarithmu Differentiationsformel.- Das Additionstheorem.- Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus.- Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion).- Die allgemeine Exponentialfunktion ax und die allgemeine Potenz x?.- Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte.- Schlußbemerkungen.- § 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion.- Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung.- Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall.- Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium.- Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden.- Verlauf chemischer Reaktionen.- Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes.- § 8. Die Hyperbelfunktionen.- Analytische Definition.- Additionstheoreme und Differentiationsformeln.- Die T.Jmkehrfunktionen.- Weitere Analogien.- § 9. Die Größenordnung von Funktionen.- Begriff der Größenordnung. Einfachste Fälle.- Die Größenordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus.- Allgemeine Bemerkungen.- Die Größenordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes.- Größenordnung des Verschwindens einer Funktion.- Anhang zum dritten Kapitel.- § 1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen.- Die Funktion

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$$y = {e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}$$.- Die Funktion

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$$y = {e^{ - \frac{1}{x}}}$$.- Die Funktion

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$$ y = \mathfrak{T}\mathfrak{g}\frac{1} {x}$$.- Die Funktion

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$$ y = x\mathfrak{T}\mathfrak{g}\frac{1} {x}$$.- Die Funktion

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$$ y = x\sin \frac{1} {x}$$
, y(0)=0.- § 2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen.- § 3. Verschiedene Einzelheiten.- Beweis des binomischen Satzes.- Fortgesetzte Differentiation.- Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz.- Viertes Kapitel. Weiterer Ausbau der Integralrechnung.- § 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- § 2. Die Substitutionsregel.- Die Substitutionsformel.- Neuer Beweis der Substitutionsformel.- Beispiele. Integrationsformeln.- § 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode.- § 4. Die Produktintegration.- Allgemeines.- Beispiele.- Rekursionsformeln.- Die Wallissche Produktzerlegung von?.- § 5. Integration der rationalen Funktionen.- Aufstellung der Grundtypen.- Integration der Grundtypen.- Die Partialbruchzerlegung.- Beispiel. Chemische Reaktionen.- Weitere Beispiele für Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten).- § 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen.- Vorbemerkungen über die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen.- Integration von R (cosx, sinx ).- Integration von R (Cosx, Sinx ).- Integration von

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$$ R(x,\sqrt {1 - {x^2}}) ]$$.- Integration von

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$$R(x,\sqrt {{x^2} + 1})]$$.- Integration von

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$$ R(x,\sqrt {a{x^2} + 2bx + c}) ]$$.- Weitere Beispiele für Zurückführung auf Integrale rationaler Funktionen.- Bemerkungen zu den Beispielen.- § 7. Bemerkungen über Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren Funktionen integrieren lassen.- Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale.- Grundsätzliches über Differentiation und Integration.- § 8. Erweiterung des Integralbegriffe Uneigentliche Integrale.- Funktionen mit Sprungstellen.- Funktionen mit Unendlichkeitsstellen.- Unendliches Integrationsintervall.- Anhang zum vierten Kapitel.- Der zweite Mittelwertsatz der Integialrechnung.- Fünftes Kapitel. Anwendungen.- § 1. Darstellung von Kurven.- Die Parameterdarstellung.- Die zu einer Kurve gehörigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung.- Übergang zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung.- Allgemeine Bemerkungen.- § 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven.- Der Flächeninhalt in rechtwinkligen Koordinaten.- Die Unabhängigkeit vom Koordinatensystem.- Beispiel: Ellipse.- Flächeninhalt in Polarkoordinaten.- Länge einer Kurve.- Krümmung.- Schwerpunkt und statisches Moment einer Kurve.- Flächeninhalt und Volumen einer Rotationsfläche.- Trägheitsmoment.- § 3. Beispiele.- Die Zykloide.- Kettenlinie.- Ellipse und Lemniskate.- § 4. Die einfachsten Probleme der Mechanik.- Grundvoraussetzungen aus der Mechanik.- Freier Fall. Reibung.- Die einfachste elastische Schwingung.- Die allgemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve.- § 5. Weitere Anwendungen: Fall eines Massenpunktes auf einer Kurve.- Allgemeines.- Diskussion der Bewegung.- Das gewöhnliche Pendel.- Das Zykloidenpendel.- § 6. Arbeit.- Allgemeines.- Erstes Beispiel. Massenanziehung.- Zweites Beispiel. Spannen einer Feder.- Drittes Beispiel. Aufladen eines Kondensators.- Anhang zum fünften Kapitel.- Eigenschaften der Evolute.- Sechstes Kapitel. Die Taylorsche Formel und die Annäherung von Funktionen durch ganze rationale.- § 1. Der Logarithmus und der Arcustangens.- Der Logarithmus.- Der Arcustangens.- § 2. Die allgemeine Taylorsche Formel.- Die Taylorsche Formel für ganze rationale Funktionen.- Die Taylorsche Formel für eine beliebige Funktion.- Abschätzung des Restgliedes.- § 3. Anwendungen. Entwicklung der elementaren Funktionen.- Die Exponentialfunktion. Irrationalität von e.- sinx, cosx, Sinx, Cosx.- Die binomische Reihe. Ein allgmeiner Satz über Konvergenz der Taylorschen Reihe einer Funktion mit nicht negativen Ableitungen aller Ordnungen.- § 4. Geometrische Anwendungen.- Berührung von Kurven.- Der Krümmungskreis als Oskulationskreis.- Zur Theorie der Maxima und Minima.- Anhang zum sechsten Kapitel.- § 1. Beispiel einer Funktion, die sich nicht in eine Taylorsche Reihe entwickeln läßt.- § 2. Approximation beliebiger stetiger Funktionen durch Polynome und trigonometrische Summen.- Der Satz von Weierstrass.- Approximation von |x |.- Beweis des Weierstrassschen Approximationssatzes.- Anwendungen.- Trigonometrische Approximation.- § 3. Nullstellen, Unendlichkeitsstellen von Funktionen und sog. unbestimmte Ausdrücke.- § 4. Interpolation.- Problemstellung und Vorbemerkungen.- Konstruktion der Lösung. Die Newtonsche Interpolationsformel.- Restabschätzung.- Die Interpolationsformel von Lagrange.- Siebentes Kapitel. Exkurs über numerische Methoden.- Vorbemerkungen.- § 1. Numerische Integration.- Rechtecksregel.- Trapezformel und Tangentenformel.- Die Simpsonsche Regel.- Beispiele.- Fehlerabschätzung.- § 2. Anwendungen des Mittelwertsatzes und des Taylorschen Satze.- Die „Fehlerrechnung“.- Berechnung von ?.- Berechnung der Logarithmen.- § 3. Numerische Auflösung von Gleichungen.- Das Verfahren von Newton.- Regula falsi.- Beispiel.- Das Iterationsprinzip.- Anhang zum siebenten Kapitel.- Die Stirlingsche Formel.- Achtes Kapitel. Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse.- Vorbemerkungen.- § 1. Die Begriffe Konvergenz und Divergenz.- Grundbegriffe.- Absolute und bedingte Konvergenz.- Umordnung der Reihenglieder.- Das Rechnen mit unendlichen Reihen.- § 2. Untersuchung der Konvergenz und Divergenz.- Das Prinzip der Reihenvergleichung.- Vergleichung mit der geometrischen Reihe.- Vergleichung mit einem Integral.- § 3. Grenzübergänge und Reihen von Funktionen einer Veränderlichen.- Allgemeines.- Grenzübergänge mit Funktionen und Kurven.- § 4. Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz.- Allgemeines und Beispiele.- Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz.- Stetigkeit gleichmäßig konvergenter Reihen stetiger Funktionen.- Die Integration gleichmäßig konvergenter Reihen.- Differentiation unendlicher Reihen.- § 5. Potenzreihen 347 Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe.- Die Integration und Differentiation von Potenzreihen.- Das Rechnen mit Potenzreihen.- Eindeutigkeitssatz für die Potenzreihen.- § 6. Entwicklung gegebener Funktionen in Potenzreihen. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Beispiele 353 Die Exponentialfunktion.- Die binomische Reihe.- Die Reihe für arc sinx.- Die Potenzreihenentwicklung von

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$$ \mathfrak{U}\mathfrak{r} \mathfrak{S}\mathfrak{n} x = log(x + \sqrt {1 + {x^2}}) ]$$.- Beispiel für Reihenmultiplikation.- Beispiel für gliedweises Integrieren. Elliptisch es Integral.- § 7. Potenzreihen mit komplexen Gliedern.- Einführung komplexer Glieder in Potenzreihen.- Ausblick auf die allgemeine Theorie analytischer Funktionen.- Anhang zum achten Kapitel.- § 1. Multiplikation und Division von Reihen.- Multiplikation absolut konvergenter Reihen.- Multiplikation und Division von Potenzreihen.- § 2. Grenzübergänge, die mit der Exponentialfunktion zusammenhängen.- Die Gleichmäßigkeit des Grenzüberganges

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$$ {(1 + \frac{x} {n})^n} \to {e^x}]$$.- Ben merkung über Integration und Differentiation der Exponentialfunktion.- Beweis der Formel

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% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca
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$$ \int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx = \frac{1} {2}\sqrt \pi } ]$$.- § 3. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- § 4. Unendliche Produkte.- § 5. Weitere Beispiele für unendliche Reihen.- Verschiedene Entwicklungen.- Neuntes Kapitel Fouriersche Reihen.- § 1. Die periodischen Funktionen.- Allgemeines.- Zusammensetzung von reinen Schwingungen. Obertöne. Schwebungen.- § 2. Die Verwendung der komplexen Schreibweise.- Allgemeine Bemerkungen.- Anwendung in der Lehre vom Wechselstrom.- Komplexe Darstellung der Superposition von reinen Schwingungen.- Ableitung einer trigonometrischen Formel.- § 3. Beispiele für die Fouriersche Reihe.- Form der Fourierschen Reihenentwicklung.- Entwicklung der Funktionen?(x) = x und ?(x)= x2.- Entwicklung der Funktionx cosx.- f(x) = |x|.- 5. Beispiel.- f(x) = |sin x |.- Entwicklung der Funktion cos ? x . Partialbruchzeriegung des Kotangen Produktzerlegung des Sinus.- Weitere Beispiele.- § 4. Beweis der Fourierschen Reihenentwicklung.- Die Konvergenz der Fourierschen Reihe einer stückweise glatten Funktion.- Genauere Untersuchung der Konvergenz. — Besselsche Ungleichung.- § 5. Die mittlere Approximation durch trigonometrische Polynome.- Anhang zum neunten Kapitel.- § 1. Bernoullische Polynome und ihre Anwendungen.- Definition und Fourier -Entwicklung.- Erzeugende Funktion und Taylorsche Reihe des trigonometrischen und hyperbolischen Kotangens.- Eulersche Summenformel.- Anwendungen (konvergente Entwicklungen, Summen von Potenzen, Rekursionsformeln für die Bernoullischen Zahlen, Eulersche Konstante, Stirling s Formel, Asymptotische Reihenauswertungen).- § 2. Integration von Fourierschen Reihen.- § 3. Trigonometrische Interpolation.- Die Interpolationsformel.- Beispiele zur trigonometrischen Interpolation.- Zehntes Kapitel. Die Differentialgleichungen der einfachsten Schwingungsvorgänge.- § 1. Schwingungsprobleme der Mechanik und Physik.- Einfachste mechanische Schwingungen 426. — Elektrische Schwingungen.- § 2. Lösung der homogenen Gleichung. Freie Bewegungen.- Formale Auflösung.- Physikalische Deutung der Lösung.- Anpassung an gegebene Anfangsbedingungen. Eindeutigkeit der Lösung.- § 3. Unhomogene Gleichung. Erzwungene Bewegungen.- Allgemeine Bemerkungen.- Lösung der unhomogenen Gleichung.- Die Resonanzkurve.- Nähere Diskussion des Schwingungsablaufes.- Bemerkungen über Registrierinstrumente.- Schlußemerkung.