Il testo confronta con la usuale geometria del piano (euclidea) vari tipi di geometrie che si hanno su superfici note e meno note: geometria sulla sfera, sul cilindro, sul cono e sulla pseudosfera. L'idea di fondo è di giungere alla descrizione "intrinseca" di queste geometrie analizzando che cosa significa l'andare diritto su queste superficie (cioè l'idea di geodetica). Si giunge così a vari tipi di geometrie che si discostano da quella euclidea usuale: geometrie localmente euclidee (su cilindro e cono deprivato del vertice), geometria ellittica (sulla sfera), geometria iperbolica (sulla pseudosfera). Si scopre che la chiave di volta concettuale che distingue queste diverse geometrie è la nozione di curvatura gaussiana, rispettivamente nulla su piani, cilindri, coni; (costante) positiva sulla sfera e (costante) negativa sulla pseudosfera. In relazione a queste idee matematiche si sviluppano anche vari temi interdisciplinari: si studiano ad esempio le caratteristiche delle carte geografiche che rappresentano la Terra a partire dal problema di determinare la rotta migliore tra due località (porti, aereoporti); si indaga sulla curvatura del nostro universo; si descrivono le leggi geometriche su cui si basa la tecnologia dei GPS. Non si trascurano gli aspetti fondazionali, analizzando quali assiomi della Geometria Euclidea valgano o meno e perché nelle nuove geometrie.
Arzarello / Dané / Lovera
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1 Perché la geometria sulle superfici.- 2 La geometria sulla sfera.- 3 Euclide, Hilbert e la geometria sulla sfera.- 4 Geometria sul cilindro.- 5 Geometria sul cono.- 6 La curvatura.- 7. La pseudosfera e la geometria sulla pseudosfera.- 8 La sfera Terra: fare il punto.- 9 La sfera Terra: le carte geografiche.- 10 Le mappe conformi della pseudosfera e i modelli di geometria iperbolica.- 11 Il nostro spazio è euclideo?.- A Confronto tra i sistemi assiomatici di Euclide e di Hilbert.- B GPS: sistema di posizionamento globale.- Bibliografia.
