Hermes Einführung in die Verbandstheorie

Erscheinungsjahr 2013
ISBN: 978-3-662-01450-9
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, Band 73, 164 Seiten, eBook

Reihe: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

Die Verbandstheorie ist in neuerer Zeit in den Vordergrund des mathematischen Interesses getreten, weil sie ebenso wie die Gruppen theorie im Prinzip sehr einfache Zusammenhänge betrachtet und so (fast noch mehr als die Gruppentheorie) in den verschiedensten Ge bieten der Mathematik Anwendung findet. Es handelt sich um die Untersuchung von Strukturen, die allgemeiner sind als geordnete Mengen, die aber mit den geordneten Mengen gemeinsam haben, daß es zu je zwei Elementen immer ein kleinstes beide umfassendes und ein größtes in beiden enthaltenes Element gibt. Das vorliegende Buch will eine Einführung in die Verbandstheorie und ihre Anwendungen geben. Die Beweise werden ziemlich ausführ lich dargestellt. An den meist leichten Übungsaufgaben am Ende des Paragraphen kann der Leser kontrollieren, wie weit er den Text ver standen hat. Die Beispiele sind aus den Grundlagen der Geometrie, der Algebra und der Topologie gewählt und setzen damit eine gewisse mathematische Allgemeinbildung voraus. In einem Anhang werden die wichtigsten logischen und mengen theoretischen Begriffe zusammengestellt. Insbesondere werden Symbole für die einfachsten logischen Verknüpfungen eingeführt. Ich habe mich nicht gescheut, diese Symbole auch ab und zu im Text zu verwenden, da so in vielen Fällen die logische Struktur einer Aussage deutlicher hervortritt, und da man insbesondere oft mit Äquivalenzen ebenso bequem rechnen kann, wie es der Mathematiker schon immer mit Gleichungen zu tun gewöhnt ist. Es kommt hinzu, daß in wichtigen Verbänden die verbandstheoretischen Operationen unmittelbar mit aussagenlogischen Verknüpfungen zusammenhängen.

Zielgruppe

Research

Autoren/Hrsg.

Hermes, Hans

Inhaltsverzeichnis

Erstes Kapitel. Grundlagen.- § 1. Verbände.- § 2. Halbordnungen.- § 3. Ordnungstheoretische Charakterisierung der Verbände.- § 4. Isomorphismen und Homomorphismen.- § 5. Teilverbände und Teilbünde; Perspektivitäten.- § 6. Vollständige Verbände.- § 7. Der Verband der Teilalgebren einer Algebra.- Zweites Kapitel. Die einfachsten Verbandsklassen.- § 8. Distributive und modulare Verbände.- § 9. Charakterisierung der modularen und distributiven Verbände.- § 10. Komplementäre Verbände, Boolesche Algebren.- § 11. Atomare Verbände.- § 12. Ideale in den verschiedenen Verbandsklassen. Einbettung in vollständige Verbände.- Drittes Kapitel. Modulare Verbände.- § 13. Einige einfache Eigenschaften modularer Verbände.- § 14. Der Verband der linearen Teilräume einer projektiven Geometrie.- § 15. Verbandstheoretische Charakterisierung der projektiven Geometrien.- § 16. Einige Eigenschaften der projektiven Geometrien.- § 17. Zerlegungsverbände.- § 18. Vertauschbare Äquivalenzrelationen.- § 19. Lineare Abhängigkeit.- Viertes Kapitel. Distributive und Boolesche Verbände.- § 20. Darstellung der distributiven Verbände und Mengenverbände.- § 21. Irreduzible Elemente in distributiven Verbänden.- § 22. Algebraische Charakterisierung der Booleschen Verbände.- § 23. Topologische Charakterisierung der Booleschen Verbände.- § 24. Unendliche distributive Gesetze.- Fünftes Kapitel. Verschiedenes.- § 25. Das Zornsche Lemma.- § 26. Kongruenzrelationen in Verbänden.- § 27. Die Boolesche Algebra und die zweiwertige Logik.- Namen- und Sachverzeichnis.